If $x+y+z=0,$ show that $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$.

Since $x+y+z=0 $                      $\therefore x+y=-z$

or  $(x+y)^{3}=(-z)^{3}$             or $x^{3}+y^{3}+3 x y(x+y)=-z^{3}$

or  $x^{3}+y^{3}+3 x y(-z)=-z^{3}$      $[\because x+y=(-z)]$

or  $x^{3}+y^{3}-3 x y z=-z^{3}$    or $\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)-3 x y z=0$

or  $\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)=3 x y z$

Hence,            if $x+y+z=0,$ then $\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)=3 x y z$