વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ છે કે જેથી $f(x) + \int\limits_0^x {g(t)dt = 2\,\sin \,x\, - \,\frac{\pi }{2}} $ અને  $f'(x).g (x) = cos^2\,x$ હોય તો અંતરાલ  $(0,3 \pi$) પર સમીકરણ $f(x) + g(x) = 0$ ના ઉકેલની સંખ્યા મેળવો.

વિધેય $f(x) = x(x + 3){e^{ - (1/2)x}}$ એ અંતરાલ $[-3, 0]$ માં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે તો $c$ ની કિમંત મેળવો.

વિધેય  $f(x) =  - 4{e^{\left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right)}} + 1 + x + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3}$ અને $g(x)=f^{-1}(x) \,;$ હોય તો $g'(-\frac{7}{6})$ મેળવો.

જો $2a + 3b + 6c = 0 $ હોય, તો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$  નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ કયા અંતરાલમાં હોય ?

જો $y = f (x)$ અને  $y = g (x)$ એ $[0,2]$ પર બે વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી $f(0) = 3,$ $f(2) = 5$ , $g (0) = 1$ અને $g(2) = 2$ થાય. જો ઓછામાં ઓછો એક $c \in \left( {0,2} \right)$ મળે કે જેથી $f'(c)=kg'(c)$ થાય તો $k$ મેળવો.

જો $ [1, 3] $ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$  એ $c\,\, = \,\,\frac{{2\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 }}$ માટે રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે, તો.........