यदि $x \in [0, 1]$ है,तो समीकरण $2[\cos^{-1}x] + 6[\text{sgn}(\sin x)] = 3$ के हलों की संख्या क्या है? (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है और $\text{sgn}(x)$ $x$ के चिह्न फलन को दर्शाता है)-

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $\operatorname{Sin}^{-1} x - \operatorname{Cos}^{-1} x = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$ के हल हैं और $\alpha > \beta$ है,तो $3\alpha + 4\beta =$

यदि $\alpha = 3 \sin^{-1}\left(\frac{6}{11}\right)$ और $\beta = 3 \cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ है,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान लेते हैं,तो सही विकल्प है/हैं:
$(A) \cos \beta > 0$
$(B) \sin \beta < 0$
$(C) \cos(\alpha + \beta) > 0$
$(D) \cos \alpha < 0$

यदि $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं और $\tan^{-1}x, \tan^{-1}y, \tan^{-1}z$ भी समांतर श्रेणी में हैं,तो:

समीकरण $\theta=\tan ^{-1}(2 \tan \theta)-\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{6 \tan \theta}{9+\tan ^2 \theta}\right)$ के वास्तविक हलों की कुल संख्या क्या है? $($यहाँ,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\sin ^{-1} x$ और $\tan ^{-1} x$ क्रमशः $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ और $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में मान ग्रहण करते हैं.$)$

$2 \tan ^{-1}(\cos x)=\tan ^{-1}(2 \csc x)$ को हल कीजिए।