$R$ ત્રિજ્યા અને $N$ આંટા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલમાંથી $I$ પ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે તેની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે,
$B=\frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$
$(a)$ દર્શાવો કે આ સૂત્ર કોઈલના કેન્દ્ર પરના ક્ષેત્રના જાણીતા પરિણામમાં પરિણમે છે.
$(b)$ સમાન ત્રિજ્યા $R$ અને $N$ આંટા ધરાવતી બે સમાંતર અક્ષીય વર્તુળાકાર કોઈલનો વિચાર કરો,જેમાંથી સમાન દિશામાં સમાન પ્રવાહ વહે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $R$ છે. દર્શાવો કે કોઈલની વચ્ચેના મધ્યબિંદુની આસપાસ અક્ષ પરનું ક્ષેત્ર $R$ ની સરખામણીમાં નાના અંતર માટે સમાન રહે છે અને તે આશરે,
$B=0.72 \frac{\mu_{0} N I}{R}$ જેટલું છે.

(A) વર્તુળાકાર કોઈલની ત્રિજ્યા $= R$
કોઈલ પરના આંટાની સંખ્યા $= N$
કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ $= I$
તેની અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર,
$B=\frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$
જ્યાં,$\mu_{0} =$ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી.
$(a)$ જો કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર લેવામાં આવે,તો $x=0$.
$\therefore B=\frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2 R^{3}}=\frac{\mu_{0} I N}{2 R}$
આ કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું જાણીતું પરિણામ છે.
$(b)$ બે સમાંતર અક્ષીય કોઈલની ત્રિજ્યા $= R$. દરેક કોઈલ પર આંટા $= N$. બંને કોઈલમાં પ્રવાહ $= I$. બંને વચ્ચેનું અંતર $= R$.
મધ્યબિંદુથી $d$ અંતરે બિંદુ $Q$ લો. એક કોઈલ $Q$ થી $\frac{R}{2}+d$ અંતરે અને બીજી $\frac{R}{2}-d$ અંતરે છે.
બિંદુ $Q$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{1} + B_{2}$.
$B = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2} \left[ \left( (\frac{R}{2}+d)^{2} + R^{2} \right)^{-3/2} + \left( (\frac{R}{2}-d)^{2} + R^{2} \right)^{-3/2} \right]$
$d \ll R$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા અને $d/R$ ના ઉચ્ચ ઘાતવાળા પદોને અવગણતા:
$B \approx \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2} \left( \frac{5R^{2}}{4} \right)^{-3/2} \left[ (1 - \frac{4d}{5R})^{-3/2} + (1 + \frac{4d}{5R})^{-3/2} \right]$
$(1+x)^{n} \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B \approx \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2} (\frac{4}{5R^{2}})^{3/2} [1 + \frac{6d}{5R} + 1 - \frac{6d}{5R}]$
$B = \frac{4}{5\sqrt{5}} \frac{\mu_{0} N I}{R} \approx 0.72 \frac{\mu_{0} N I}{R}$