$R$ ત્રિજ્યા અને $N$ આંટા ધરાવતા  એક  વર્તુળાકાર ગૂંચળામાથી વિધુતપ્રવાહ $I$ પસાર થાય છે; અને તેની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી અંતરે ચુંબકીયક્ષેત્રનું મૂલ્ય

$B=\frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$ જેટલું છે.

દર્શાવો કે ગૂંચળાના કેન્દ્ર પાસે આ સમીકરણ જાણીતા સમીકરણ જેવુ બને છે.

બે સમાંતર, એક અક્ષ પર આવેલા સમાન ત્રિજ્યા $R$ ના ગૂંચળા વિચારો, જેમના આંટાની સંખ્યા $N$ છે, તથા એક સમાન દિશામાં સમાન વિધુતપ્રવાહ ધરાવે છે, અને તેમની વચ્ચેનું  અંતર પણ $R$ છે. દર્શવો કે બે ગૂંચળાના મધ્યમાં , તેમની અક્ષ પર આવેલા બિંદુની આસપાસ $R$ ની સરખામણીમાં નાના અંતર સુધી ચુંબકીયક્ષેત્ર નિયમિત હશે, જે લગભગ 

$B = 0.72\frac{{{\mu _0}NI}}{R},$ વડે દર્શાવી શકાય .

  [અમુક નાના અંતર સુધી નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરી શકતી આ ગોઠવણીને હેલ્મહોલ્ટઝ ગૂંચળા કહે છે.].

Radius of circular coil $= R$

Number of turns on the coil $= N$

Current in the coil $=$ $I$

Magnetic field at a point on its axis at distance $x$ is given by the relation,

$B=\frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$

Where,

$\mu_{0}=$ Permeability of free space

$(a)$ If the magnetic field at the centre of the coil is considered, then $x=0$.

$\therefore B=\frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2 R^{3}}=\frac{\mu_{0} I N}{2 R}$

This is the familiar result for magnetic field at the centre of the coil.

$(b)$ Radii of two parallel co-axial circular coils $= R$

Number of turns on each coil $= N$

Current in both coils $=I$

Distance between both the coils $= R$

Let us consider point $Q$ at distance $d$ from the centre.

Then, one coil is at a distance of $\frac{R}{2}+d$ from point $Q$.

Magnetic field at point $Q$ is given as

$B_{1}=\frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2\left[\left(\frac{R}{2}+d\right)^{2}+R^{2}\right]^{3 / 2}}$

Also, the other coil is at a distance of $\frac{R}{2}-d$ from point $Q$.

Magnetic field due to this coil is given as

$B_{2}=\frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2\left[\left(\frac{R}{2}-d\right)^{2}+R^{2}\right]^{3 / 2}}$

Total magnetic field, $B=B_{1}+B_{2}$

$=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2}\left[\left\{\left(\frac{R}{2}-d\right)^{2}+R^{2}\right\}^{-3 / 2}+\right]\left\{\left(\frac{R}{2}+d\right)^{2}+R^{2}\right\}^{-3 / 2} \times N$

$=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2}\left[\left(\frac{5 R^{2}}{4}+d^{2}-R d\right)^{-3 / 2}+\left(\frac{5 R^{2}}{4}+d^{2}+R d\right)^{-3 / 2}\right] \times N$

$=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2} \times\left(\frac{5 R^{2}}{4}\right)^{-3 / 2}\left[\left(1+\frac{4}{5} \frac{d^{2}}{R^{2}}-\frac{4}{5} \frac{d}{R}\right)^{-3 / 2}+\left(1+\frac{4}{5} \frac{d^{2}}{R^{2}}+\frac{4}{5} \frac{d}{R}\right)^{-3 / 2}\right] \times N$

For $d < < R ,$ neglecting the factor $\frac{d^{2}}{R^{2}},$ we get:

$\approx \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2} \times\left(\frac{5 R^{2}}{4}\right)^{-3 / 2} \times\left[\left(1-\frac{4 d}{5 R}\right)^{-3 / 2}+\left(1+\frac{4 d}{5 R}\right)^{-3 / 2}\right] \times N$

$\approx \frac{\mu_{0} I R^{2} N}{2 R^{3}} \times\left(\frac{4}{5}\right)^{3 / 2}\left[1-\frac{6 d}{5 R}+1+\frac{6 d}{5 R}\right]$

$B=\left(\frac{4}{5}\right)^{3 / 2} \frac{\mu_{0} I N}{R}=0.72\left(\frac{\mu_{0} I N}{R}\right)$

Hence, it is proved that the field on the axis around the mid-point between the coils is uniform.