$x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેયનું વિકલન કરો: $x^{\sin x}+(\sin x)^{\cos x}$

ધારો કે $y=x^{\sin x}+(\sin x)^{\cos x}$.
ધારો કે $u=x^{\sin x}$ અને $v=(\sin x)^{\cos x}$.
તેથી $y=u+v$,એટલે કે $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$ $(1)$.
$u=x^{\sin x}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log u = \sin x \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$ $(2)$.
$v=(\sin x)^{\cos x}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log v = \cos x \log(\sin x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = -\sin x \log(\sin x) + \cos x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$.
તેથી,$\frac{dv}{dx} = (\sin x)^{\cos x} [\cot x \cos x - \sin x \log(\sin x)]$ $(3)$.
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right) + (\sin x)^{\cos x} [\cot x \cos x - \sin x \log(\sin x)]$.