અંતરાલ [1,3] માં List-I માં આપેલા તમામ વિધેયો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,જો વિધેય $f(x)$ એ $[a,b]$ પર સતત હોય અને $(a,b)$ પર વિકલનીય હોય,તો ઓછામાં ઓછું એક $c \in (a,b)$ એવું મળે કે જેથી

Vedclass · Accepted Answer

$A-IV, B-III, C-II, D-V$

Vedclass · Answer

(D) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,જો વિધેય $f(x)$ એ $[a,b]$ પર સતત હોય અને $(a,b)$ પર વિકલનીય હોય,તો ઓછામાં ઓછું એક $c \in (a,b)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ થાય.$A. f(x) = |x-1|$. આ વિધેય $x=1$ પર વિકલનીય નથી,જે અંતરાલ $[1,3]$ નો અંતિમ બિંદુ છે. તેથી,$LMVT$ લાગુ પડતું નથી. જોકે,જો આપણે છેદક રેખાનો ઢાળ લઈએ,તો $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{2-0}{2} = 1$. $x > 1$ માટે,$f'(x) = 1$. કોઈપણ $c \in (1,3)$ આને સંતોષે છે. વિકલ્પો જોતા,$A-II$ એ હેતુપૂર્વકની જોડી છે.$B. f(x) = \log x$. $f'(c) = \frac{\log 3 - \log 1}{3-1} = \frac{\log 3}{2} = \log 3^{1/2} = \log \sqrt{3}$. $f'(x) = 1/x$ હોવાથી,$1/c = \log \sqrt{3} \implies c = 1/\log \sqrt{3} = \log_3 e^2$. તેથી,$B-III$.$C. f(x) = x^2+x+1$. $f'(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{(9+3+1)-(1+1+1)}{2} = \frac{13-3}{2} = 5$. $f'(x) = 2x+1$ હોવાથી,$2c+1 = 5 \implies 2c = 4 \implies c = 2$. તેથી,$C-II$.$D. f(x) = e^x$. $f'(c) = \frac{e^3-e^1}{3-1} = \frac{e^3-e}{2}$. $f'(x) = e^x$ હોવાથી,$e^c = \frac{e^3-e}{2} \implies c = \log \left(\frac{e^3-e}{2}\right)$. તેથી,$D-V$.જોડકાં: $A-II, B-III, C-II, D-V$.

Similar Questions

ધારો કે $f$ એ $[0, 1]$ અંતરાલ પર વિકલનીય વિધેય છે. તો,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

વિધેય $f(x) = x(x - 1)^2, x \in [0, 2]$ માટે અંતરાલ $(0, 2)$ માં મધ્યકમાન પ્રમેયનું પાલન કરતું $c$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ અંતરાલ $[1, 3]$ માં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે અને $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ હોય,તો $a = $ ..............

$m > 1, n > 1$ માટે,વિધેય $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ માટે અંતરાલ $(0, a)$ માં રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે તે માટે $c$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module