વિધેય f(x) = begin{cases} x sin frac{pi}{x} & | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) $x > 0$ માટે,વિકલિત $f'(x) = \sin \frac{\pi}{x} - \frac{\pi}{x} \cos \frac{\pi}{x}$ દ્વારા મળે છે.આપણે $(0, 1)$ માં એવા બિંદુઓ $c$ શોધવા માંગીએ છી

Vedclass · Accepted Answer

અનંત

Vedclass · Answer

(D) $x > 0$ માટે,વિકલિત $f'(x) = \sin \frac{\pi}{x} - \frac{\pi}{x} \cos \frac{\pi}{x}$ દ્વારા મળે છે.આપણે $(0, 1)$ માં એવા બિંદુઓ $c$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.આનો અર્થ એ છે કે $\sin \frac{\pi}{c} = \frac{\pi}{c} \cos \frac{\pi}{c}$,અથવા $	an \frac{\pi}{c} = \frac{\pi}{c}$.અંતરાલો $I_k = \left[ \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} ight]$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$.આ અંતરાલોના અંત્યબિંદુઓ પર,$f\left(\frac{1}{k+1}ight) = \frac{1}{k+1} \sin((k+1)\pi) = 0$ અને $f\left(\frac{1}{k}ight) = \frac{1}{k} \sin(k\pi) = 0$ થાય છે.કારણ કે $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે,રોલના પ્રમેય મુજબ,દરેક $k \in \mathbb{N}$ માટે $\left( \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} ight)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c_k$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c_k) = 0$ થાય.આમ,$(0, 1)$ માં આવા અનંત અંતરાલો $I_k$ હોવાથી,એવા અનંત બિંદુઓ છે જ્યાં $f'(x) = 0$ થાય છે.

Similar Questions

વિધેય $f(x)=2x^3-3x^2-x+1$ અને અંતરાલો $I_1=[-1,0]$,$I_2=[0,1]$,$I_3=[1,2]$,$I_4=[-2,-1]$ ધ્યાનમાં લો. તો,

જો $f(x) = 2x - x^2$ માટે,અંતરાલ $[0, 1]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય (Lagrange's Mean Value Theorem) સંતોષાય છે,તો $c \in [0, 1]$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x)$ એ બે વાર વિકલનીય બહુપદી વિધેય હોય કે જેથી $f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9$ થાય,તો:

ધારો કે $f: D \rightarrow R$ જ્યાં $D=[0,1] \cup [2,4]$ એ $f(x)=\begin{cases} x, & \text{જો } x \in [0,1] \\ 4-x, & \text{જો } x \in [2,4] \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો,

જો વિધેય $f(x) = 2x^3 + bx^2 + cx$ માટે અંતરાલ $x \in [-1, 1]$ માં $x = \frac{1}{2}$ આગળ રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું હોય,તો $2b + c$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module