એક સતત અને વિકલનીય વિધેય f એ શરત int_{0}^{x} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સમીકરણ $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ છે. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને: $f(x) = 2f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$(A)$ અને $(C)$ બંને

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સમીકરણ $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ છે. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને: $f(x) = 2f(x)f'(x)$. જો $f(x) 
eq 0$ હોય,તો $f(x)$ વડે ભાગતા આપણને $f'(x) = \frac{1}{2}$ મળે છે. $f'(x) = \frac{1}{2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$f(x) = \frac{x}{2} + c$ મળે છે. મૂળ સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $\int_{0}^{0} f(t) dt = f^2(0) - 1 \Rightarrow 0 = f^2(0) - 1 \Rightarrow f(0) = \pm 1$. આમ,$c = \pm 1$,તેથી $f(x) = \frac{x}{2} + 1$ અથવા $f(x) = \frac{x}{2} - 1$. બંને કિસ્સાઓમાં,$f'(x) = \frac{1}{2} > 0$,તેથી $f$ એ તમામ $x \in R$ માટે મોનોટોનિક વધતું વિધેય છે. તેમજ,$f(x) = \frac{x}{2} \pm 1$ નો આલેખ એક સીધી રેખા છે. તેથી,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

એક સતત અને વિકલનીય વિધેય $f$ એ શરત $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ ને તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સંતોષે છે. તો:

Similar Questions

$\int_{0}^{1} 9x^8 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિધેય $f(x) = \int\limits_0^x \sqrt{1 - t^4} \, dt$ એવું છે કે

જો $\alpha \in (2, 3)$ હોય,તો સમીકરણ $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module