एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

यदि ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ है,तो (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n \in N$):

स्तंभ $I$ में दिए गए समाकलों को स्तंभ $II$ में दिए गए मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

मान लीजिए ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + x}}} \,dx$ और ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^3}}}\left( {2 - {x^3}} \right)}}} \,dx$ है,तो $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि परवलय $y = ax^2 + bx + c$ के शीर्ष का भुज $1$ $(a, b, c > 0)$ है और $f(x) = \int_0^x (3at^2 + bt + c) dt$ एक निरंतर वर्धमान फलन है $\forall x \in R$ के लिए,तो $[\frac{a}{c}]$ का अधिकतम संभव मान क्या है (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x) = a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$,$a \in R$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $[t]$,$t$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है। यदि $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ का अस्तित्व है,तो $\int_{0}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।