જો alpha in (2, 3) હોય,તો સમીકરણ int_{0}^{alp | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ સમીકરણ $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ છે. સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $[\sin(x + \alpha^2)]_{0}^{\alpha} = \sin \alpha$

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ સમીકરણ $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ છે. સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $[\sin(x + \alpha^2)]_{0}^{\alpha} = \sin \alpha$. આથી $\sin(\alpha + \alpha^2) - \sin(\alpha^2) = \sin \alpha$ મળે. સૂત્ર $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા: $2 \cos(\alpha^2 + \frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$. $\alpha \in (2, 3)$ હોવાથી,$\sin(\frac{\alpha}{2}) 
eq 0$,તેથી $2 \sin(\frac{\alpha}{2})$ વડે ભાગતા: $\cos(\alpha^2 + \frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\alpha}{2})$. આથી $\alpha^2 + \frac{\alpha}{2} = 2n\pi \pm \frac{\alpha}{2}$ મળે. કિસ્સો $1$: $\alpha^2 = 2n\pi \Rightarrow \alpha = \sqrt{2n\pi}$. $\alpha \in (2, 3)$ માટે,$n=1$ લેતા $\alpha = \sqrt{2\pi} \approx 2.506$. કિસ્સો $2$: $\alpha^2 + \alpha - 2n\pi = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{-1 + \sqrt{1 + 8n\pi}}{2}$. $n=1$ માટે,$\alpha = \frac{-1 + \sqrt{1 + 8\pi}}{2} \approx 2.06$. બંને કિંમતો $(2, 3)$ ની વચ્ચે છે,તેથી કુલ $2$ ઉકેલો મળે.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

જો $\alpha \in (2, 3)$ હોય,તો સમીકરણ $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જો $f(x)$ અને $g(x)$ એકબીજાના વ્યસ્ત વિધેયો હોય કે જેથી $f(1) = 3$ અને $f(3) = 1$ થાય,તો $\int_{1}^{3} \left( g(x) + \frac{x}{f'(g(x))} \right) dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ અને $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ હોય,તો $I_1 : I_2$ શું થાય?

ધારો કે $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (જ્યાં $\alpha > 0$),તો $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,હોય તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module