int_0^pi sin^5left( frac{x}{2} right) , dx का | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^\pi \sin^5\left( \frac{x}{2} \right) \, dx$. $t = \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब

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$\frac{16}{15}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^\pi \sin^5\left( \frac{x}{2} \right) \, dx$. $t = \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = \pi$,तब $t = \frac{\pi}{2}$. अतः,$I = \int_0^{\pi/2} \sin^5(t) \cdot 2 \, dt = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^5(t) \, dt$. वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_0^{\pi/2} \sin^n(x) \, dx = \frac{(n-1)(n-3)\dots(2)}{n(n-2)\dots(1)}$ (जब $n$ विषम संख्या हो)। $n = 5$ के लिए,$\int_0^{\pi/2} \sin^5(t) \, dt = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{8}{15}$. इसलिए,$I = 2 \cdot \frac{8}{15} = \frac{16}{15}$.

$\int_0^\pi \sin^5\left( \frac{x}{2} \right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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