int_0^{pi /2} log(sin x) , dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_0^{\pi /

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{\pi}{2} \log 2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_0^{\pi /2} \log(\cos x) \, dx$. આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_0^{\pi /2} (\log(\sin x) + \log(\cos x)) \, dx = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x \cos x) \, dx$. લોગની અંદર $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $2I = \int_0^{\pi /2} \log(\frac{\sin 2x}{2}) \, dx = \int_0^{\pi /2} \log(\sin 2x) \, dx - \int_0^{\pi /2} \log 2 \, dx$. $2I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin 2x) \, dx - \frac{\pi}{2} \log 2$. ધારો કે $2x = t$,તો $2 \, dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\pi/2, t=\pi$. $2I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log(\sin t) \, dt - \frac{\pi}{2} \log 2$. ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય: $2I = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^{\pi /2} \log(\sin t) \, dt - \frac{\pi}{2} \log 2$. $2I = I - \frac{\pi}{2} \log 2$. $I = -\frac{\pi}{2} \log 2$.

$\int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx = $

Similar Questions

$\int_{ - \pi }^{\pi } {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{d x}{1+\sqrt[3]{\tan 2 x}}$ નું મૂલ્ય શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\tan x} \,dx} $ નું મૂલ્ય છે

સંકલન $\int_0^\pi(1-|\sin 8 x|) d x$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\int_{-1}^1 (a x^3 + b x) dx = 0$ માટે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module