$ABCD$ एक आयत है और $P$,$Q$,$R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB$,$BC$,$CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।

(N/A) आयत $ABCD$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$R$,$CD$ का मध्य-बिंदु है और $S$,$DA$ का मध्य-बिंदु है।
विकर्ण $AC$ खींचिए।
$\Delta ABC$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार:
$PQ = \frac{1}{2} AC$ और $PQ \parallel AC$ ......... $(1)$
$\Delta ACD$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार:
$SR = \frac{1}{2} AC$ और $SR \parallel AC$ ......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें $PQ = SR$ और $PQ \parallel SR$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$BD$ को मिलाने पर,हमें $PS = QR$ और $PS \parallel QR$ प्राप्त होता है।
चूंकि चतुर्भुज $PQRS$ की सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म बराबर और समांतर हैं,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,$\Delta PAS$ और $\Delta PBQ$ में:
$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ (आयत के कोण)
$AP = BP$ ($P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)
$AS = BQ$ (आयत की बराबर सम्मुख भुजाओं $AD$ और $BC$ के आधे भाग)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta PAS \cong \Delta PBQ$.
अतः,$PS = PQ$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ $PS = PQ$ बराबर हैं,इसलिए इसकी सभी भुजाएँ बराबर होंगी $(PQ = QR = RS = SP)$।
अतः,$PQRS$ एक समचतुर्भुज है।