$\binom{10}{1} + \binom{10}{2} + \binom{11}{3} + \binom{12}{4} + \binom{13}{5} = \dots$

$(1+a)^{m+n}$ ના વિસ્તરણમાં સાબિત કરો કે $a^{m}$ અને $a^{n}$ ના સહગુણકો સમાન છે.

$3 \cdot C_0 + 7 \cdot C_1 + 11 \cdot C_2 + \ldots + (3 + 4n) C_n =$

જો $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_{10}$ એ $(1+x)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં દ્વિપદી સહગુણકો દર્શાવતા હોય,તો $C_0 C_6+C_1 C_7+C_2 C_8+C_3 C_9+C_4 C_{10}=$

ધારો કે $X = 1({ }^{10} C _1)^2 + 2({ }^{10} C _2)^2 + 3({ }^{10} C _3)^2 + \ldots + 10({ }^{10} C _{10})^2$,જ્યાં ${ }^{10} C _{ r }$ એ $r \in \{1, 2, \ldots, 10\}$ માટે દ્વિપદી સહગુણકો દર્શાવે છે. તો,$\frac{1}{1430} X$ ની કિંમત શોધો.

$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \dots + C_{n-r} C_n =$