Problems on Trains Questions in Gujarati

(D) સમાન દિશામાં ગતિ કરતી બે ટ્રેનોની સાપેક્ષ ઝડપ $= (42 - 30) \; km/h = 12 \; km/h$.
સાપેક્ષ ઝડપને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીને $m/s$ માં ફેરવો:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 12 \times \frac{5}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \; m/s$.
બીજી ટ્રેનને પસાર કરવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર $= (60 + 84) \; m = 144 \; m$.
લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{144}{10/3} = \frac{144 \times 3}{10} = \frac{432}{10} = 43.2 \; \text{સેકન્ડ}$.

(C) ધારો કે બે ટ્રેનોની લંબાઈ $L_1$ અને $L_2$ મીટર છે.
વિરુદ્ધ દિશામાં સાપેક્ષ ઝડપ $= 45 + 36 = 81 \; km/h$.
$m/s$ માં રૂપાંતર: $81 \times \frac{5}{18} = 22.5 \; m/s$.
તેઓ એકબીજાને $8 \; seconds$ માં પસાર કરે છે,તેથી તેમની લંબાઈનો સરવાળો $L_1 + L_2 = 22.5 \times 8 = 180 \; m$ છે.
સમાન દિશામાં સાપેક્ષ ઝડપ $= 45 - 36 = 9 \; km/h$.
$m/s$ માં રૂપાંતર: $9 \times \frac{5}{18} = 2.5 \; m/s$.
ઝડપી ટ્રેનમાં રહેલી વ્યક્તિ બીજી ટ્રેનને $30 \; seconds$ માં પસાર થતી જુએ છે. આનો અર્થ એ છે કે ધીમી ટ્રેનની લંબાઈ $(L_2)$ સાપેક્ષ ઝડપે કપાય છે: $L_2 = 2.5 \times 30 = 75 \; m$.
તેથી,ઝડપી ટ્રેનની લંબાઈ $L_1 = 180 - 75 = 105 \; m$ છે.
ટ્રેનોની લંબાઈ $105 \; m$ અને $75 \; m$ છે.

(B) $P$ થી શરૂ થતી ટ્રેન $20 \; km/h$ ની ઝડપે $1 \; \text{કલાક}$ (સવારે $7$ થી $8$ વાગ્યા સુધી) મુસાફરી કરે છે.
સવારે $8$ વાગ્યા સુધીમાં પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર $= 20 \; km/h \times 1 \; h = 20 \; km$.
સવારે $8$ વાગ્યે $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું બાકી રહેલું અંતર $= 110 \; km - 20 \; km = 90 \; km$.
ટ્રેનો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $= 20 \; km/h + 25 \; km/h = 45 \; km/h$ થશે.
સવારે $8$ વાગ્યા પછી મળવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{બાકી રહેલું અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{90 \; km}{45 \; km/h} = 2 \; \text{કલાક}$.
તેથી,ટ્રેનો સવારે $8 + 2 = 10$ વાગ્યે મળશે.

(B) ટ્રેનની લંબાઈ $75 \; m$ છે.
પ્રથમ વ્યક્તિ માટે:
સાપેક્ષ ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{75}{7.5} = 10 \; m/s$.
$km/h$ માં ફેરવતા: $10 \times \frac{18}{5} = 36 \; km/h$.
ટ્રેન વ્યક્તિને ઓવરટેક કરતી હોવાથી,સાપેક્ષ ઝડપ $= (\text{ટ્રેનની ઝડપ} - \text{વ્યક્તિની ઝડપ})$.
$36 = \text{ટ્રેનની ઝડપ} - 6 \implies \text{ટ્રેનની ઝડપ} = 42 \; km/h$.
બીજા વ્યક્તિ માટે:
લાગતો સમય $= 6 \frac{3}{4} = 6.75 \; s = \frac{27}{4} \; s$.
સાપેક્ષ ઝડપ $= \frac{75}{27/4} = \frac{300}{27} = \frac{100}{9} \; m/s$.
$km/h$ માં ફેરવતા: $\frac{100}{9} \times \frac{18}{5} = 40 \; km/h$.
ધારો કે બીજા વ્યક્તિની ઝડપ $v_2$ છે.
$40 = 42 - v_2 \implies v_2 = 2 \; km/h$.

(C) ધારો કે બે સ્ટેશન $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $x \; km$ છે અને ટ્રેનની ઝડપ $y \; km/h$ છે.
$\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{x}{y} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \implies x = \frac{3}{4}y \quad (1)$
જ્યારે ઝડપ $5 \; km/h$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ઝડપ $(y - 5) \; km/h$ થાય છે અને લાગતો સમય $48$ મિનિટ છે:
$\frac{x}{y - 5} = \frac{48}{60} = \frac{4}{5} \implies x = \frac{4}{5}(y - 5) \quad (2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{3}{4}y = \frac{4}{5}(y - 5)$
$15y = 16(y - 5)$
$15y = 16y - 80$
$y = 80 \; km/h$
$y = 80$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$x = \frac{3}{4} \times 80 = 60 \; km$
આમ,અંતર $60 \; km$ છે અને ઝડપ $80 \; km/h$ છે.

(D) જ્યારે બે ટ્રેનો એક જ દિશામાં ગતિ કરતી હોય,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમના ઝડપના તફાવત જેટલી હોય છે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 40 \; km/hr - 20 \; km/hr = 20 \; km/hr$.
ઝડપને $km/hr$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 20 \times \frac{5}{18} = \frac{100}{18} = \frac{50}{9} \; m/s$.
ધારો કે ઝડપી ટ્રેનની લંબાઈ $x \; meters$ છે.
કારણ કે ટ્રેન ધીમી ટ્રેનમાં રહેલા માણસને પસાર કરે છે,તેથી કાપેલું અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ $(x)$ જેટલું જ હશે.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{50}{9} \; m/s \times 5 \; s = \frac{250}{9} \; m$.
અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં ફેરવતા: $\frac{250}{9} = 27 \frac{7}{9} \; m$.

(B) ટ્રેનની ઝડપ $72 \; km/hr$ છે.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
$\text{ઝડપ} = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \; m/s$.
જ્યારે ટ્રેન પુલને ઓળંગે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પુલની લંબાઈનો સરવાળો હોય છે.
$\text{કુલ અંતર} = 110 \; m + 132 \; m = 242 \; m$.
$\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{242}{20} = 12.1 \; seconds$.
તેથી,ટ્રેનને પુલ ઓળંગતા $12.1 \; seconds$ લાગશે.

(D) ટ્રેનની ઝડપ $60 \; km/hr$ આપેલી છે.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{ઝડપ} = 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \; m/s$.
થાંભલાને પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $9 \; seconds$ છે.
ટ્રેનની લંબાઈ એ થાંભલાને પસાર કરતી વખતે $9 \; seconds$ માં ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલ અંતર જેટલી હોય છે.
$\text{લંબાઈ} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = \left(\frac{50}{3}\right) \times 9 = 50 \times 3 = 150 \; m$.

(C) પગલું $1$: ટ્રેનની ઝડપ $m/s$ માં શોધો.
ઝડપ = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{12 \;km}{10 \;min}$.
$12 \;km$ ને $12000 \;m$ માં અને $10 \;min$ ને $600 \;s$ માં ફેરવો.
ઝડપ = $\frac{12000 \;m}{600 \;s} = 20 \;m/s$.
પગલું $2$: ટ્રેનની લંબાઈ શોધો.
જ્યારે ટ્રેન ટેલિગ્રાફ પોસ્ટને પસાર કરે છે,ત્યારે તે પોતાની લંબાઈ જેટલું અંતર કાપે છે.
ટ્રેનની લંબાઈ = $\text{ઝડપ} \times \text{પોસ્ટ પસાર કરવા માટેનો સમય}$.
લંબાઈ = $20 \;m/s \times 6 \;s = 120 \;m$.

(B) ધારો કે પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $x \;m$ છે.
જ્યારે ટ્રેન સિગ્નલના થાંભલાને પસાર કરે છે,ત્યારે તે પોતાની લંબાઈ જેટલું અંતર કાપે છે. તેથી,ટ્રેનની ઝડપ:
$\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{300 \;m}{18 \;s} = \frac{50}{3} \;m/s$.
જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મને પસાર કરે છે,ત્યારે તે પોતાની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈના સરવાળા જેટલું અંતર કાપે છે. તેથી:
$\text{ઝડપ} = \frac{300 + x}{39} \;m/s$.
ઝડપ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{300 + x}{39} = \frac{50}{3}$.
બંને બાજુ $39$ વડે ગુણતા:
$300 + x = \frac{50}{3} \times 39$.
$300 + x = 50 \times 13$.
$300 + x = 650$.
$x = 650 - 300 = 350 \;m$.
આમ,પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $350 \;m$ છે.

(C) ધારો કે ધીમી ટ્રેન દ્વારા ઝડપી ટ્રેનને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t$ સેકન્ડ છે.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 60 + 90 = 150 \; km/hr$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે:
કુલ લંબાઈ $= 1.1 + 0.9 = 2 \; km$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\text{કુલ લંબાઈ}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}}$ દ્વારા મળે છે.
$t = \frac{2 \; km}{150 \; km/hr} = \frac{1}{75} \; \text{કલાક}$.
સમયને સેકન્ડમાં ફેરવવા માટે,$3600$ વડે ગુણાકાર કરો:
$t = \frac{1}{75} \times 3600 \; \text{સેકન્ડ }= 48 \; \text{સેકન્ડ}$.

(B) ધારો કે ટ્રેન દ્વારા દોડતા માણસને પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $t$ સેકન્ડ છે.
માણસ ટ્રેનની વિરુદ્ધ દિશામાં દોડી રહ્યો હોવાથી,સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 60 + 6 = 66 \;km/h$.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 66 \times \frac{5}{18} = 11 \times \frac{5}{3} = \frac{55}{3} \;m/s$.
માણસને પસાર કરવા માટે કાપવાનું અંતર ટ્રેનની લંબાઈ જેટલું એટલે કે $110 \;m$ છે.
લાગતો સમય $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{110}{55/3} = 110 \times \frac{3}{55} = 2 \times 3 = 6 \;\text{સેકન્ડ}$.

(B) જ્યારે બે ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોય,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપના સરવાળા જેટલી હોય છે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 45 \; km/hr + 30 \; km/hr = 75 \; km/hr$.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 75 \times \frac{5}{18} = \frac{375}{18} = \frac{125}{6} \; m/s$.
ઝડપી ટ્રેનના ડ્રાઈવરને પસાર કરવા માટે,ધીમી ટ્રેને પોતાની લંબાઈ જેટલું અંતર કાપવું પડે,જે $500 \; m$ છે.
લાગતો સમય $(t) = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}}$.
$t = \frac{500}{\frac{125}{6}} = 500 \times \frac{6}{125} = 4 \times 6 = 24 \; seconds$.

(B) પ્રથમ ટ્રેનની ઝડપ $= \frac{120 \; m}{10 \; s} = 12 \; m/s$.
બીજી ટ્રેનની ઝડપ $= \frac{120 \; m}{15 \; s} = 8 \; m/s$.
જ્યારે બે ટ્રેન વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપના સરવાળા જેટલી હોય છે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 12 \; m/s + 8 \; m/s = 20 \; m/s$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે,કાપેલું કુલ અંતર બંને ટ્રેનની લંબાઈના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ.
કુલ અંતર $= 120 \; m + 120 \; m = 240 \; m$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{240 \; m}{20 \; m/s} = 12 \; s$.

(B) ધારો કે ટ્રેન દ્વારા માણસને પસાર કરવામાં લાગતો સમય $t$ સેકન્ડ છે.
માણસ ટ્રેનની દિશામાં જ ચાલી રહ્યો હોવાથી,સાપેક્ષ ઝડપ એ બંનેની ઝડપનો તફાવત થશે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= (63 - 3) \;km/h = 60 \;km/h$.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \;m/s$.
માણસને પસાર કરવા માટે કાપવાનું અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ જેટલું એટલે કે $500 \;m$ છે.
સૂત્ર $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{500}{50/3} = \frac{500 \times 3}{50} = 10 \times 3 = 30 \;\text{સેકન્ડ}$.

(D) વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી ટ્રેનોની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો છે: $v_r = 60 + 40 = 100 \; km/hr$.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણો: $v_r = 100 \times \frac{5}{18} = \frac{500}{18} = \frac{250}{9} \; m/s$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર એ બંને ટ્રેનોની લંબાઈનો સરવાળો છે: $L = 140 + 160 = 300 \; m$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v_r}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{300}{250/9} = \frac{300 \times 9}{250} = \frac{6 \times 9}{5} = \frac{54}{5} = 10.8 \; seconds$.

(C) ધારો કે દરેક ટ્રેનની ઝડપ $v \; m/s$ છે.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $v_r = v + v = 2v \; m/s$ થશે.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપેલું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $D = 120 + 120 = 240 \; m$.
ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = 12 \; s$ છે.
સૂત્ર $v_r = \frac{D}{t}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2v = \frac{240}{12} = 20 \; m/s$.
તેથી,$v = 10 \; m/s$.
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/h$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{18}{5}$ વડે ગુણાકાર કરીશું:
$v = 10 \times \frac{18}{5} = 36 \; km/h$.

(D) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $v \; m/s$ છે અને ટ્રેનની લંબાઈ $L \; m$ છે.
જ્યારે ટ્રેન ટેલિગ્રાફ પોસ્ટને પસાર કરે છે,ત્યારે તે $8 \; seconds$ માં પોતાની લંબાઈ જેટલું અંતર કાપે છે:
$L = v \times 8 \quad ... (1)$
જ્યારે ટ્રેન $264 \; m$ લાંબા પુલને પસાર કરે છે,ત્યારે તે $20 \; seconds$ માં પોતાની લંબાઈ અને પુલની લંબાઈનો સરવાળો જેટલું અંતર કાપે છે:
$L + 264 = v \times 20 \quad ... (2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(L + 264) - L = 20v - 8v$
$264 = 12v$
$v = \frac{264}{12} = 22 \; m/s$
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/hr$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણાકાર કરો:
$v = 22 \times \frac{18}{5} = \frac{396}{5} = 79.2 \; km/hr$.

(D) સૌ પ્રથમ,ટ્રેનની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
ઝડપ $= 72 \times \frac{5}{18} \; m/s = 20 \; m/s$.
ધારો કે માલગાડીની લંબાઈ $x \; m$ છે.
જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મ પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો હોય છે.
કુલ અંતર $= (x + 250) \; m$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$
$x + 250 = 20 \times 26$
$x + 250 = 520$
$x = 520 - 250$
$x = 270 \; m$.
તેથી,માલગાડીની લંબાઈ $270 \; m$ છે.

(A) ટ્રેનની ઝડપ $= 45 \; km/hr$.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે, $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
ઝડપ $= 45 \times \frac{5}{18} = 12.5 \; m/s$.
પુલને પસાર કરવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર $=$ ટ્રેનની લંબાઈ $+$ પુલની લંબાઈ.
કુલ અંતર $= 360 \; m + 140 \; m = 500 \; m$.
લાગતો સમય $(t) = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
$t = \frac{500}{12.5} = 40 \; \text{સેકન્ડ}$.

(A) ધારો કે દરેક ટ્રેનની લંબાઈ $l$ મીટર છે.
ઝડપી ટ્રેન દ્વારા ધીમી ટ્રેનને પસાર કરવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર $= l + l = 2l$ મીટર.
ધીમી ટ્રેનની સાપેક્ષમાં ઝડપી ટ્રેનની સાપેક્ષ ઝડપ $= 46 - 36 = 10 \; km/h$.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવતા: $10 \times \frac{5}{18} = \frac{50}{18} = \frac{25}{9} \; m/s$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{સાપેક્ષ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સમય}}$.
$\frac{25}{9} = \frac{2l}{36}$.
$2l = \frac{25 \times 36}{9}$.
$2l = 25 \times 4 = 100$.
$l = 50 \; m$.
આમ,દરેક ટ્રેનની લંબાઈ $50 \; m$ છે.

(A) ધારો કે બીજી ટ્રેનની લંબાઈ $l \;m$ છે.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 120 + 80 = 200 \;km/hr$.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 200 \times \frac{5}{18} = \frac{500}{9} \;m/s$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપેલું કુલ અંતર બંને ટ્રેનોની લંબાઈનો સરવાળો છે,જે $(270 + l) \;m$ છે.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$270 + l = \frac{500}{9} \times 9$.
$270 + l = 500$.
$l = 500 - 270 = 230 \;m$.
તેથી,બીજી ટ્રેનની લંબાઈ $230 \;m$ છે.

(C) ધારો કે ધીમી ટ્રેનની ઝડપ $v$ છે અને ઝડપી ટ્રેનની ઝડપ $2v$ ($m/s$ માં) છે.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $v + 2v = 3v$ થશે.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $100 \; m + 100 \; m = 200 \; m$.
સૂત્ર $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3v = \frac{200}{8}$
$3v = 25$
$v = \frac{25}{3} \; m/s$.
ઝડપી ટ્રેનની ઝડપ $2v = 2 \times \frac{25}{3} = \frac{50}{3} \; m/s$ છે.
આ ઝડપને $km/h$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણો:
$\text{ઝડપ} = \frac{50}{3} \times \frac{18}{5} = 10 \times 6 = 60 \; km/h$.

(B) ધારો કે બે ટ્રેનોની ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ છે. ધારો કે તેઓ $T$ સમય પછી બિંદુ $P$ પર મળે છે।
મળ્યા પછી, પ્રથમ ટ્રેનને પટના પહોંચવા માટે $t_1 = 9 \; \text{કલાક}$ લાગે છે, અને બીજી ટ્રેનને હાવડા પહોંચવા માટે $t_2 = 16 \; \text{કલાક}$ લાગે છે।
જ્યારે તેઓ મળે અને પછી તેમના ગંતવ્ય સ્થાને પહોંચે ત્યારે ઝડપના ગુણોત્તરનું સૂત્ર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$ છે।
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{16}{9}}$.
તેથી, $\frac{v_1}{v_2} = \frac{4}{3}$.
તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $4:3$ છે।

(B) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x \; km/hr$ છે.
માણસ ટ્રેનની જ દિશામાં દોડી રહ્યો હોવાથી,માણસની સાપેક્ષમાં ટ્રેનની સાપેક્ષ ઝડપ $(x - 5) \; km/hr$ થશે.
આ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીશું:
સાપેક્ષ ઝડપ $= (x - 5) \times \frac{5}{18} \; m/s$.
ટ્રેન માણસને પસાર કરવા માટે પોતાની લંબાઈ જેટલું એટલે કે $125 \; m$ અંતર $10 \; seconds$ માં કાપે છે.
સૂત્ર $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x - 5) \times \frac{5}{18} = \frac{125}{10} = 12.5$.
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$x - 5 = \frac{12.5 \times 18}{5} = 2.5 \times 18 = 45$.
$x = 45 + 5 = 50 \; km/hr$.
આમ,ટ્રેનની ઝડપ $50 \; km/hr$ છે.

(B) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $l \; \text{મીટર}$ છે.
ટ્રેનની ઝડપ અચળ છે. જ્યારે તે થાંભલાને પસાર કરે છે, ત્યારે ટ્રેન $15 \; \text{સેકન્ડ}$ માં પોતાની લંબાઈ $l$ જેટલું અંતર કાપે છે.
ઝડપ $v = \frac{l}{15} \; \text{મીટર/સેકન્ડ}$.
જ્યારે તે $100 \; \text{મીટર}$ લાંબા પ્લેટફોર્મને પસાર કરે છે, ત્યારે ટ્રેન $25 \; \text{સેકન્ડ}$ માં કુલ $(l + 100) \; \text{મીટર}$ અંતર કાપે છે.
ઝડપ $v = \frac{l + 100}{25} \; \text{મીટર/સેકન્ડ}$.
બંને ઝડપને સરખાવતા:
$\frac{l}{15} = \frac{l + 100}{25}$
છેદને $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{l}{3} = \frac{l + 100}{5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5l = 3(l + 100)$
$5l = 3l + 300$
$2l = 300$
$l = 150 \; \text{મીટર}$.
આમ, ટ્રેનની લંબાઈ $150 \; \text{મીટર}$ છે.

(C) ધારો કે ટનલની લંબાઈ $x \; m$ છે.
ટ્રેનની ઝડપ $78 \; km/hr$ છે.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{ઝડપ} = 78 \times \frac{5}{18} = \frac{13 \times 5}{3} = \frac{65}{3} \; m/s$.
ટનલ પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $1 \; minute = 60 \; seconds$ છે.
જ્યારે ટ્રેન ટનલ પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને ટનલની લંબાઈનો સરવાળો હોય છે.
$\text{કુલ અંતર} = (800 + x) \; m$.
$\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$800 + x = \frac{65}{3} \times 60$
$800 + x = 65 \times 20$
$800 + x = 1300$
$x = 1300 - 800 = 500 \; m$.
આમ,ટનલની લંબાઈ $500 \; m$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,ટ્રેનની ઝડપ શોધો.
ઝડપ = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{240 \; m}{24 \; s} = 10 \; m/s$.
જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મ પસાર કરે છે,ત્યારે ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો છે.
કુલ અંતર = $240 \; m + 650 \; m = 890 \; m$.
લાગતો સમય = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{890 \; m}{10 \; m/s} = 89 \; s$.

(A) વીજળીના થાંભલાને પસાર કરવા માટે,ટ્રેને તેની પોતાની લંબાઈ જેટલું અંતર કાપવું પડે.
ટ્રેનની લંબાઈ $(d)$ = $100 \; m$.
ટ્રેનની ઝડપ $(v)$ = $144 \; km/hr$.
સૌ પ્રથમ,ઝડપને $km/hr$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
$v = 144 \times \frac{5}{18} \; m/s = 8 \times 5 \; m/s = 40 \; m/s$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\text{સમય} (t) = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$:
$t = \frac{100}{40} \; s = 2.5 \; s$.
તેથી,ટ્રેન થાંભલાને $2.5 \; seconds$ માં પસાર કરશે.

(B) ઝાડને પસાર કરવા માટે, ટ્રેને તેની પોતાની લંબાઈ જેટલું અંતર કાપવું પડે.
ટ્રેનની લંબાઈ = $280 \; m$.
ટ્રેનની ઝડપ = $63 \; km/hr$.
સૌ પ્રથમ, ઝડપને $km/hr$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
ઝડપ = $63 \times \frac{5}{18} = \frac{7 \times 5}{2} = 17.5 \; m/s$.
લાગતો સમય = $\frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{280}{17.5}$.
સમય = $\frac{280 \times 18}{63 \times 5} = \frac{5040}{315} = 16 \; \text{સેકન્ડ}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ અને બીજી ટ્રેનની ઝડપ અનુક્રમે $x \; \text{મીટર/સેકન્ડ}$ અને $y \; \text{મીટર/સેકન્ડ}$ છે.
પ્રથમ ટ્રેનની લંબાઈ $= x \times 27 = 27x \; \text{મીટર}$.
બીજી ટ્રેનની લંબાઈ $= y \times 17 = 17y \; \text{મીટર}$.
જ્યારે ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં એકબીજાને ઓળંગે છે, ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(x + y) \; \text{મીટર/સેકન્ડ}$ થાય છે અને કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો $(27x + 17y) \; \text{મીટર}$ થાય છે.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{27x + 17y}{x + y} = 23$.
બંને બાજુ $(x + y)$ વડે ગુણતા:
$27x + 17y = 23(x + y)$
$27x + 17y = 23x + 23y$
$x/y$ ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$27x - 23x = 23y - 17y$
$4x = 6y$
$\frac{x}{y} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
આમ, તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(C) ધારો કે ટ્રેન દ્વારા જોગરને પસાર કરવા માટે લેવાયેલ સમય $t$ સેકન્ડ છે.
જોગરની સાપેક્ષમાં ટ્રેનની સાપેક્ષ ઝડપ $= 45 - 9 = 36 \; km/hr$.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવતા: $36 \times \frac{5}{18} = 10 \; m/s$.
ટ્રેન દ્વારા જોગરને સંપૂર્ણપણે પસાર કરવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર એ તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર અને ટ્રેનની લંબાઈનો સરવાળો છે: $240 \; m + 120 \; m = 360 \; m$.
લીધેલ સમય $t = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{360 \; m}{10 \; m/s} = 36 \; sec$.

(B) સૌ પ્રથમ, ટ્રેનની ઝડપને $\text{km/hr}$ માંથી $\text{m/s}$ માં ફેરવો:
ઝડપ $= 54 \times \frac{5}{18} = 15 \; \text{m/s}$.
ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $L_t$ છે અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $L_p$ છે.
જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મ પર ઉભેલા માણસને પસાર કરે છે, ત્યારે તે $20 \; \text{સેકન્ડમાં}$ પોતાની લંબાઈ જેટલું અંતર કાપે છે:
$L_t = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 15 \times 20 = 300 \; \text{m}$.
જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મને પસાર કરે છે, ત્યારે તે પોતાની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈના સરવાળા જેટલું અંતર $36 \; \text{સેકન્ડમાં}$ કાપે છે:
$L_t + L_p = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 15 \times 36 = 540 \; \text{m}$.
$L_t$ ની કિંમત મૂકતા:
$300 + L_p = 540$
$L_p = 540 - 300 = 240 \; \text{m}$.
આમ, પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $240 \; \text{m}$ છે.

(C) ધારો કે પુલની લંબાઈ $x \; m$ છે.
ટ્રેન દ્વારા પુલને પસાર કરવા માટે કાપેલું કુલ અંતર = (ટ્રેનની લંબાઈ + પુલની લંબાઈ) = $(130 + x) \; m$.
ટ્રેનની ઝડપ = $45 \; km/hr$.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવતા: $45 \times \frac{5}{18} = 12.5 \; m/s$.
લાગતો સમય = $30 \; s$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
$130 + x = 12.5 \times 30$.
$130 + x = 375$.
$x = 375 - 130 = 245 \; m$.
આમ,પુલની લંબાઈ $245 \; m$ છે.

(C) ધીમી ટ્રેનની સાપેક્ષમાં ઝડપી ટ્રેનની સાપેક્ષ ઝડપ $72 - 54 = 18 \; km/h$ છે.
આ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવતા: $18 \times \frac{5}{18} = 5 \; m/s$.
ઝડપી ટ્રેન દ્વારા બીજી ટ્રેનને સંપૂર્ણપણે ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $100 + 120 = 220 \; m$.
લાગતો સમય = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{220}{5} = 44 \; s$.

(B) ટ્રેનની ઝડપ $= 30 \; km/hr = 30 \times \frac{5}{18} \; m/s = \frac{25}{3} \; m/s$.
ટ્રેન દ્વારા ઉભેલા માણસને પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{ટ્રેનની લંબાઈ}}{\text{ટ્રેનની ઝડપ}} = \frac{100 \; m}{\frac{25}{3} \; m/s}$.
સમય $= \frac{100 \times 3}{25} = 12 \; sec$.

(B) ટ્રેનની ઝડપ $= 120 \; km/hr = 120 \times \frac{5}{18} \; m/s = \frac{100}{3} \; m/s$.
પ્લેટફોર્મને પાર કરવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર $=$ ટ્રેનની લંબાઈ $+$ પ્લેટફોર્મની લંબાઈ.
કુલ અંતર $= 120 \; m + 130 \; m = 250 \; m$.
લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{ટ્રેનની ઝડપ}}$.
લાગતો સમય $= \frac{250}{\frac{100}{3}} = \frac{250 \times 3}{100} = \frac{750}{100} = 7.5 \; sec$.

(C) પગલું $1$: ટ્રેનની ઝડપને $km/hr$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો.
ઝડપ $= 135 \times \frac{5}{18} = 7.5 \times 5 = 37.5 \; m/s$.
પગલું $2$: ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $l$ મીટર છે. પ્લેટફોર્મની લંબાઈ ટ્રેનની લંબાઈ જેટલી જ હોવાથી,પ્લેટફોર્મની લંબાઈ પણ $l$ મીટર થશે.
પગલું $3$: જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મને પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો છે.
કુલ અંતર $= l + l = 2l$.
પગલું $4$: સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $\text{ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સમય}}$.
$37.5 = \frac{2l}{40}$.
પગલું $5$: $l$ માટે ઉકેલો.
$2l = 37.5 \times 40$.
$2l = 1500$.
$l = 750 \; m$.
આમ,ટ્રેનની લંબાઈ $750 \; m$ છે.

(C) ઝડપી ટ્રેનની ધીમી ટ્રેનની સાપેક્ષ ઝડપ $= 45 - 36 = 9 \; km/hr$.
$m/s$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $9 \times \frac{5}{18} = 2.5 \; m/s$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર $=$ બંને ટ્રેનોની લંબાઈનો સરવાળો $= 250 + 200 = 450 \; m$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{450}{2.5} = 180 \; sec$.

(D) પ્રથમ ટ્રેનની ઝડપ $= 60 \; km/hr = 60 \times \frac{5}{18} \; m/s = \frac{50}{3} \; m/s$.
ધારો કે બીજી ટ્રેનની ઝડપ $x \; m/s$ છે.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે: $\text{સાપેક્ષ ઝડપ} = (\frac{50}{3} + x) \; m/s$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપેલું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $\text{કુલ અંતર} = 120 \; m + 130 \; m = 250 \; m$.
સૂત્ર $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{50}{3} + x = \frac{250}{6}$.
$\frac{50}{3} + x = \frac{125}{3}$.
$x = \frac{125}{3} - \frac{50}{3} = \frac{75}{3} = 25 \; m/s$.
ઝડપને $km/hr$ માં ફેરવતા: $25 \times \frac{18}{5} = 90 \; km/hr$.