Problems on Trains Questions in Hindi

(D) समान दिशा में चल रही दो ट्रेनों की सापेक्ष गति $= (42 - 30) \; km/h = 12 \; km/h$.
सापेक्ष गति को $\frac{5}{18}$ से गुणा करके $m/s$ में बदलें:
सापेक्ष गति $= 12 \times \frac{5}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \; m/s$.
दूसरी ट्रेन को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी $= (60 + 84) \; m = 144 \; m$.
लिया गया समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{144}{10/3} = \frac{144 \times 3}{10} = \frac{432}{10} = 43.2 \; \text{सेकंड}$.

(C) मान लीजिए कि दोनों ट्रेनों की लंबाई $L_1$ और $L_2$ मीटर है।
विपरीत दिशा में सापेक्ष गति $= 45 + 36 = 81 \; km/h$ है।
$m/s$ में परिवर्तन: $81 \times \frac{5}{18} = 22.5 \; m/s$ है।
चूंकि वे एक-दूसरे को $8 \; seconds$ में पार करती हैं,इसलिए उनकी लंबाई का योग $L_1 + L_2 = 22.5 \times 8 = 180 \; m$ है।
समान दिशा में सापेक्ष गति $= 45 - 36 = 9 \; km/h$ है।
$m/s$ में परिवर्तन: $9 \times \frac{5}{18} = 2.5 \; m/s$ है।
तेज ट्रेन में बैठा व्यक्ति दूसरी ट्रेन को $30 \; seconds$ में पार होते हुए देखता है। इसका मतलब है कि धीमी ट्रेन की लंबाई $(L_2)$ सापेक्ष गति से तय की जाती है: $L_2 = 2.5 \times 30 = 75 \; m$ है।
इसलिए,तेज ट्रेन की लंबाई $L_1 = 180 - 75 = 105 \; m$ है।
ट्रेनों की लंबाई $105 \; m$ और $75 \; m$ है।

(B) $P$ से चलने वाली ट्रेन $20 \; km/h$ की गति से $1 \; \text{घंटा}$ (सुबह $7$ बजे से $8$ बजे तक) यात्रा करती है।
सुबह $8$ बजे तक पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी $= 20 \; km/h \times 1 \; h = 20 \; km$ है।
सुबह $8$ बजे $P$ और $Q$ के बीच शेष दूरी $= 110 \; km - 20 \; km = 90 \; km$ है।
चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति $= 20 \; km/h + 25 \; km/h = 45 \; km/h$ होगी।
सुबह $8$ बजे के बाद मिलने में लगा समय $= \frac{\text{शेष दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{90 \; km}{45 \; km/h} = 2 \; \text{घंटे}$।
अतः,ट्रेनें सुबह $8 + 2 = 10$ बजे मिलेंगी।

(B) ट्रेन की लंबाई $75 \; m$ है।
पहले व्यक्ति के लिए:
सापेक्ष गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{75}{7.5} = 10 \; m/s$.
$km/h$ में बदलने पर: $10 \times \frac{18}{5} = 36 \; km/h$.
चूंकि ट्रेन व्यक्ति को ओवरटेक कर रही है,सापेक्ष गति $= (\text{ट्रेन की गति} - \text{व्यक्ति की गति})$.
$36 = \text{ट्रेन की गति} - 6 \implies \text{ट्रेन की गति} = 42 \; km/h$.
दूसरे व्यक्ति के लिए:
लिया गया समय $= 6 \frac{3}{4} = 6.75 \; s = \frac{27}{4} \; s$.
सापेक्ष गति $= \frac{75}{27/4} = \frac{300}{27} = \frac{100}{9} \; m/s$.
$km/h$ में बदलने पर: $\frac{100}{9} \times \frac{18}{5} = 40 \; km/h$.
मान लीजिए दूसरे व्यक्ति की गति $v_2$ है।
$40 = 42 - v_2 \implies v_2 = 2 \; km/h$.

(C) माना दो स्टेशनों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $x \; km$ है और ट्रेन की गति $y \; km/h$ है।
चूंकि $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$,हमारे पास है:
$\frac{x}{y} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \implies x = \frac{3}{4}y \quad (1)$
जब गति $5 \; km/h$ कम कर दी जाती है,तो नई गति $(y - 5) \; km/h$ होती है और लिया गया समय $48$ मिनट है:
$\frac{x}{y - 5} = \frac{48}{60} = \frac{4}{5} \implies x = \frac{4}{5}(y - 5) \quad (2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{3}{4}y = \frac{4}{5}(y - 5)$
$15y = 16(y - 5)$
$15y = 16y - 80$
$y = 80 \; km/h$
$y = 80$ को $(1)$ में रखने पर:
$x = \frac{3}{4} \times 80 = 60 \; km$
अतः,दूरी $60 \; km$ है और गति $80 \; km/h$ है।

(D) जब दो ट्रेनें एक ही दिशा में चल रही होती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति उनकी गति के अंतर के बराबर होती है।
सापेक्ष गति $= 40 \; km/hr - 20 \; km/hr = 20 \; km/hr$.
गति को $km/hr$ से $m/s$ में बदलने के लिए,हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं।
सापेक्ष गति $= 20 \times \frac{5}{18} = \frac{100}{18} = \frac{50}{9} \; m/s$.
मान लीजिए कि तेज़ ट्रेन की लंबाई $x \; meters$ है।
चूंकि ट्रेन धीमी ट्रेन में बैठे व्यक्ति को पार करती है,इसलिए तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई $(x)$ के बराबर होगी।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{50}{9} \; m/s \times 5 \; s = \frac{250}{9} \; m$.
अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने पर: $\frac{250}{9} = 27 \frac{7}{9} \; m$.

(B) ट्रेन की गति $72 \; km/hr$ है।
गति को $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
$\text{गति} = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \; m/s$.
जब कोई ट्रेन पुल को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और पुल की लंबाई का योग होती है।
$\text{कुल दूरी} = 110 \; m + 132 \; m = 242 \; m$.
$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$t = \frac{242}{20} = 12.1 \; seconds$.
अतः,ट्रेन को पुल पार करने में $12.1 \; seconds$ का समय लगेगा।

(D) ट्रेन की गति $60 \; km/hr$ दी गई है।
गति को $m/s$ में बदलने के लिए,हम इसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
$\text{गति} = 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \; m/s$.
खंभे को पार करने में लगा समय $9 \; seconds$ है।
ट्रेन की लंबाई,खंभे को पार करते समय $9 \; seconds$ में ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी के बराबर होती है।
$\text{लंबाई} = \text{गति} \times \text{समय} = \left(\frac{50}{3}\right) \times 9 = 50 \times 3 = 150 \; m$.

(C) चरण $1$: ट्रेन की गति $m/s$ में ज्ञात कीजिए।
गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{12 \;km}{10 \;min}$.
$12 \;km$ को $12000 \;m$ में और $10 \;min$ को $600 \;s$ में बदलें।
गति = $\frac{12000 \;m}{600 \;s} = 20 \;m/s$.
चरण $2$: ट्रेन की लंबाई ज्ञात कीजिए।
जब कोई ट्रेन टेलीग्राफ पोस्ट को पार करती है,तो वह अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करती है।
ट्रेन की लंबाई = $\text{गति} \times \text{पोस्ट को पार करने में लगा समय}$.
लंबाई = $20 \;m/s \times 6 \;s = 120 \;m$.

(B) माना प्लेटफॉर्म की लंबाई $x \;m$ है।
जब ट्रेन एक सिग्नल पोल को पार करती है,तो वह अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करती है। इसलिए,ट्रेन की गति:
$\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{300 \;m}{18 \;s} = \frac{50}{3} \;m/s$.
जब ट्रेन एक प्लेटफॉर्म को पार करती है,तो वह अपनी लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई के योग के बराबर दूरी तय करती है। इसलिए:
$\text{गति} = \frac{300 + x}{39} \;m/s$.
गति के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{300 + x}{39} = \frac{50}{3}$.
दोनों पक्षों को $39$ से गुणा करने पर:
$300 + x = \frac{50}{3} \times 39$.
$300 + x = 50 \times 13$.
$300 + x = 650$.
$x = 650 - 300 = 350 \;m$.
अतः,प्लेटफॉर्म की लंबाई $350 \;m$ है।

(C) माना धीमी ट्रेन द्वारा तेज ट्रेन को पार करने में लिया गया समय $t$ सेकंड है।
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी:
सापेक्ष गति $= 60 + 90 = 150 \; km/hr$.
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है:
कुल लंबाई $= 1.1 + 0.9 = 2 \; km$.
एक-दूसरे को पार करने में लिया गया समय $t = \frac{\text{कुल लंबाई}}{\text{सापेक्ष गति}}$ द्वारा दिया जाता है।
$t = \frac{2 \; km}{150 \; km/hr} = \frac{1}{75} \; \text{घंटे}$.
समय को सेकंड में बदलने के लिए,$3600$ से गुणा करें:
$t = \frac{1}{75} \times 3600 \; \text{सेकंड }= 48 \; \text{सेकंड}$.

(B) माना ट्रेन द्वारा दौड़ते हुए व्यक्ति को पार करने में लिया गया समय $t$ सेकंड है।
चूंकि व्यक्ति ट्रेन की विपरीत दिशा में दौड़ रहा है,इसलिए सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी।
सापेक्ष गति $= 60 + 6 = 66 \;km/h$।
गति को $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
सापेक्ष गति $= 66 \times \frac{5}{18} = 11 \times \frac{5}{3} = \frac{55}{3} \;m/s$।
व्यक्ति को पार करने के लिए तय की जाने वाली दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर है,जो $110 \;m$ है।
लिया गया समय $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{110}{55/3} = 110 \times \frac{3}{55} = 2 \times 3 = 6 \;\text{सेकंड}$।

(B) जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होती है।
सापेक्ष गति $= 45 \; km/hr + 30 \; km/hr = 75 \; km/hr$.
गति को $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
सापेक्ष गति $= 75 \times \frac{5}{18} = \frac{375}{18} = \frac{125}{6} \; m/s$.
तेज ट्रेन के ड्राइवर को पार करने के लिए,धीमी ट्रेन को अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करनी होगी,जो $500 \; m$ है।
लिया गया समय $(t) = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}}$.
$t = \frac{500}{\frac{125}{6}} = 500 \times \frac{6}{125} = 4 \times 6 = 24 \; seconds$.

(B) पहली ट्रेन की गति $= \frac{120 \; m}{10 \; s} = 12 \; m/s$.
दूसरी ट्रेन की गति $= \frac{120 \; m}{15 \; s} = 8 \; m/s$.
जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति के योग के बराबर होती है।
सापेक्ष गति $= 12 \; m/s + 8 \; m/s = 20 \; m/s$.
एक-दूसरे को पार करने के लिए,तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई के योग के बराबर होनी चाहिए।
कुल दूरी $= 120 \; m + 120 \; m = 240 \; m$.
एक-दूसरे को पार करने में लगा समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{240 \; m}{20 \; m/s} = 12 \; s$.

(B) माना ट्रेन द्वारा व्यक्ति को पार करने में लिया गया समय $t$ सेकंड है।
चूंकि व्यक्ति ट्रेन की ही दिशा में चल रहा है,इसलिए सापेक्ष गति उनकी गति का अंतर होगी।
सापेक्ष गति $= (63 - 3) \;km/h = 60 \;km/h$.
गति को $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
सापेक्ष गति $= 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \;m/s$.
व्यक्ति को पार करने के लिए तय की जाने वाली दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर है,जो $500 \;m$ है।
सूत्र $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ का उपयोग करते हुए:
$t = \frac{500}{50/3} = \frac{500 \times 3}{50} = 10 \times 3 = 30 \;\text{सेकंड}$.

(D) विपरीत दिशाओं में चल रही ट्रेनों की सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होती है: $v_r = 60 + 40 = 100 \; km/hr$.
गति को $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें: $v_r = 100 \times \frac{5}{18} = \frac{500}{18} = \frac{250}{9} \; m/s$.
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग है: $L = 140 + 160 = 300 \; m$.
एक-दूसरे को पार करने में लगा समय $t = \frac{L}{v_r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $t = \frac{300}{250/9} = \frac{300 \times 9}{250} = \frac{6 \times 9}{5} = \frac{54}{5} = 10.8 \; seconds$.

(C) माना प्रत्येक ट्रेन की गति $v \; m/s$ है।
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,उनकी सापेक्ष गति $v_r = v + v = 2v \; m/s$ होगी।
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $D = 120 + 120 = 240 \; m$।
पार करने में लगा समय $t = 12 \; s$ है।
सूत्र $v_r = \frac{D}{t}$ का उपयोग करने पर:
$2v = \frac{240}{12} = 20 \; m/s$।
अतः,$v = 10 \; m/s$।
गति को $m/s$ से $km/h$ में बदलने के लिए,हम $\frac{18}{5}$ से गुणा करते हैं:
$v = 10 \times \frac{18}{5} = 36 \; km/h$।

(D) माना ट्रेन की गति $v \; m/s$ है और ट्रेन की लंबाई $L \; m$ है।
जब ट्रेन एक टेलीग्राफ पोस्ट को पार करती है,तो वह $8 \; seconds$ में अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करती है:
$L = v \times 8 \quad ... (1)$
जब ट्रेन $264 \; m$ लंबे पुल को पार करती है,तो वह $20 \; seconds$ में अपनी लंबाई और पुल की लंबाई के योग के बराबर दूरी तय करती है:
$L + 264 = v \times 20 \quad ... (2)$
समीकरण $(2)$ से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(L + 264) - L = 20v - 8v$
$264 = 12v$
$v = \frac{264}{12} = 22 \; m/s$
गति को $m/s$ से $km/hr$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$v = 22 \times \frac{18}{5} = \frac{396}{5} = 79.2 \; km/hr$.

(D) सबसे पहले,ट्रेन की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
गति $= 72 \times \frac{5}{18} \; m/s = 20 \; m/s$.
मान लीजिए मालगाड़ी की लंबाई $x \; m$ है।
जब कोई ट्रेन प्लेटफॉर्म को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है।
कुल दूरी $= (x + 250) \; m$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$
$x + 250 = 20 \times 26$
$x + 250 = 520$
$x = 520 - 250$
$x = 270 \; m$.
अतः,मालगाड़ी की लंबाई $270 \; m$ है।

(A) ट्रेन की गति $= 45 \; km/hr$.
गति को $m/s$ में बदलने के लिए, $\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
गति $= 45 \times \frac{5}{18} = 12.5 \; m/s$.
पुल को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी $=$ ट्रेन की लंबाई $+$ पुल की लंबाई।
कुल दूरी $= 360 \; m + 140 \; m = 500 \; m$.
लिया गया समय $(t) = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{गति}}$.
$t = \frac{500}{12.5} = 40 \; \text{सेकंड}$.

(A) माना प्रत्येक ट्रेन की लंबाई $l$ मीटर है।
तेज ट्रेन द्वारा धीमी ट्रेन को पार करने के लिए तय की गई कुल दूरी $= l + l = 2l$ मीटर।
धीमी ट्रेन के सापेक्ष तेज ट्रेन की सापेक्ष गति $= 46 - 36 = 10 \; km/h$।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने पर: $10 \times \frac{5}{18} = \frac{50}{18} = \frac{25}{9} \; m/s$।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{सापेक्ष गति} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{समय}}$।
$\frac{25}{9} = \frac{2l}{36}$।
$2l = \frac{25 \times 36}{9}$।
$2l = 25 \times 4 = 100$।
$l = 50 \; m$।
अतः,प्रत्येक ट्रेन की लंबाई $50 \; m$ है।

(A) माना कि दूसरी ट्रेन की लंबाई $l \;m$ है।
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी।
सापेक्ष गति $= 120 + 80 = 200 \;km/hr$.
गति को $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
सापेक्ष गति $= 200 \times \frac{5}{18} = \frac{500}{9} \;m/s$.
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग है,जो $(270 + l) \;m$ है।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करते हुए:
$270 + l = \frac{500}{9} \times 9$.
$270 + l = 500$.
$l = 500 - 270 = 230 \;m$.
अतः,दूसरी ट्रेन की लंबाई $230 \;m$ है।

(C) मान लीजिए धीमी ट्रेन की गति $v$ है और तेज ट्रेन की गति $2v$ ($m/s$ में) है।
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,उनकी सापेक्ष गति $v + 2v = 3v$ होगी।
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $100 \; m + 100 \; m = 200 \; m$।
सूत्र $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ का उपयोग करते हुए:
$3v = \frac{200}{8}$
$3v = 25$
$v = \frac{25}{3} \; m/s$।
तेज ट्रेन की गति $2v = 2 \times \frac{25}{3} = \frac{50}{3} \; m/s$ है।
इस गति को $km/h$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$\text{गति} = \frac{50}{3} \times \frac{18}{5} = 10 \times 6 = 60 \; km/h$।

(B) मान लीजिए कि दो ट्रेनों की गति $v_1$ और $v_2$ है। मान लीजिए कि वे $T$ समय के बाद बिंदु $P$ पर मिलती हैं।
मिलने के बाद, पहली ट्रेन को पटना पहुँचने में $t_1 = 9 \; \text{घंटे}$ लगते हैं, और दूसरी ट्रेन को हावड़ा पहुँचने में $t_2 = 16 \; \text{घंटे}$ लगते हैं।
जब वे मिलती हैं और फिर अपने गंतव्य तक पहुँचती हैं, तो गति के अनुपात का सूत्र $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{16}{9}}$.
अतः, $\frac{v_1}{v_2} = \frac{4}{3}$.
उनकी गति का अनुपात $4:3$ है।

(B) माना ट्रेन की गति $x \; km/hr$ है।
चूंकि व्यक्ति ट्रेन की ही दिशा में दौड़ रहा है,इसलिए व्यक्ति के सापेक्ष ट्रेन की सापेक्ष गति $(x - 5) \; km/hr$ होगी।
इस गति को $m/s$ में बदलने के लिए,हम इसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
सापेक्ष गति $= (x - 5) \times \frac{5}{18} \; m/s$.
ट्रेन व्यक्ति को पार करने के लिए अपनी लंबाई यानी $125 \; m$ की दूरी $10 \; seconds$ में तय करती है।
सूत्र $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ का उपयोग करते हुए:
$(x - 5) \times \frac{5}{18} = \frac{125}{10} = 12.5$.
अब,$x$ के लिए हल करें:
$x - 5 = \frac{12.5 \times 18}{5} = 2.5 \times 18 = 45$.
$x = 45 + 5 = 50 \; km/hr$.
अतः,ट्रेन की गति $50 \; km/hr$ है।

(B) माना ट्रेन की लंबाई $l \; \text{मीटर}$ है।
ट्रेन की गति स्थिर है। खंभे को पार करते समय, ट्रेन $15 \; \text{सेकंड}$ में अपनी लंबाई $l$ के बराबर दूरी तय करती है।
गति $v = \frac{l}{15} \; \text{मीटर/सेकंड}$।
$100 \; \text{मीटर}$ लंबे प्लेटफॉर्म को पार करते समय, ट्रेन $25 \; \text{सेकंड}$ में कुल $(l + 100) \; \text{मीटर}$ की दूरी तय करती है।
गति $v = \frac{l + 100}{25} \; \text{मीटर/सेकंड}$।
दोनों गतियों की तुलना करने पर:
$\frac{l}{15} = \frac{l + 100}{25}$
भिन्नों को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{l}{3} = \frac{l + 100}{5}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$5l = 3(l + 100)$
$5l = 3l + 300$
$2l = 300$
$l = 150 \; \text{मीटर}$।
अतः, ट्रेन की लंबाई $150 \; \text{मीटर}$ है।

(C) माना सुरंग की लंबाई $x \; m$ है।
ट्रेन की गति $78 \; km/hr$ है।
गति को $m/s$ में बदलने के लिए,हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
$\text{गति} = 78 \times \frac{5}{18} = \frac{13 \times 5}{3} = \frac{65}{3} \; m/s$.
सुरंग को पार करने में लगा समय $1 \; minute = 60 \; seconds$ है।
जब एक ट्रेन सुरंग को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और सुरंग की लंबाई का योग होती है।
$\text{कुल दूरी} = (800 + x) \; m$.
$\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$800 + x = \frac{65}{3} \times 60$
$800 + x = 65 \times 20$
$800 + x = 1300$
$x = 1300 - 800 = 500 \; m$.
अतः,सुरंग की लंबाई $500 \; m$ है।

(B) सबसे पहले,ट्रेन की गति ज्ञात कीजिए।
गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{240 \; m}{24 \; s} = 10 \; m/s$.
जब ट्रेन किसी प्लेटफॉर्म को पार करती है,तो ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है।
कुल दूरी = $240 \; m + 650 \; m = 890 \; m$.
लिया गया समय = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{गति}} = \frac{890 \; m}{10 \; m/s} = 89 \; s$.

(A) बिजली के खंभे को पार करने के लिए,ट्रेन को अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करनी होगी।
ट्रेन की लंबाई $(d)$ = $100 \; m$।
ट्रेन की गति $(v)$ = $144 \; km/hr$।
सबसे पहले,गति को $km/hr$ से $m/s$ में बदलने के लिए $\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
$v = 144 \times \frac{5}{18} \; m/s = 8 \times 5 \; m/s = 40 \; m/s$।
सूत्र का उपयोग करते हुए,$\text{समय} (t) = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$:
$t = \frac{100}{40} \; s = 2.5 \; s$।
अतः,ट्रेन खंभे को $2.5 \; seconds$ में पार करेगी।

(B) पेड़ को पार करने के लिए, ट्रेन को अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करनी होगी।
ट्रेन की लंबाई = $280 \; m$।
ट्रेन की गति = $63 \; km/hr$।
सबसे पहले, गति को $km/hr$ से $m/s$ में बदलने के लिए $\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
गति = $63 \times \frac{5}{18} = \frac{7 \times 5}{2} = 17.5 \; m/s$।
लिया गया समय = $\frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{280}{17.5}$।
समय = $\frac{280 \times 18}{63 \times 5} = \frac{5040}{315} = 16 \; \text{सेकंड}$।

(B) माना कि पहली और दूसरी ट्रेन की गति क्रमशः $x \; \text{मीटर/सेकंड}$ और $y \; \text{मीटर/सेकंड}$ है।
पहली ट्रेन की लंबाई $= x \times 27 = 27x \; \text{मीटर}$।
दूसरी ट्रेन की लंबाई $= y \times 17 = 17y \; \text{मीटर}$।
जब ट्रेनें विपरीत दिशाओं में एक-दूसरे को पार करती हैं, तो सापेक्ष गति $(x + y) \; \text{मीटर/सेकंड}$ होती है और तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाई का योग $(27x + 17y) \; \text{मीटर}$ होती है।
एक-दूसरे को पार करने में लगा समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{27x + 17y}{x + y} = 23$।
दोनों पक्षों को $(x + y)$ से गुणा करने पर:
$27x + 17y = 23(x + y)$
$27x + 17y = 23x + 23y$
$x/y$ अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$27x - 23x = 23y - 17y$
$4x = 6y$
$\frac{x}{y} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$।
अतः, उनकी गति का अनुपात $3:2$ है।

(C) माना ट्रेन द्वारा जॉगर को पार करने में लिया गया समय $t$ सेकंड है।
जॉगर के सापेक्ष ट्रेन की सापेक्ष गति $= 45 - 9 = 36 \; km/hr$ है।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने पर: $36 \times \frac{5}{18} = 10 \; m/s$ प्राप्त होता है।
ट्रेन द्वारा जॉगर को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनके बीच की प्रारंभिक दूरी और ट्रेन की लंबाई का योग है: $240 \; m + 120 \; m = 360 \; m$ है।
लिया गया समय $t = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{360 \; m}{10 \; m/s} = 36 \; sec$ है।

(B) सबसे पहले, ट्रेन की गति को $\text{km/hr}$ से $\text{m/s}$ में बदलें:
गति $= 54 \times \frac{5}{18} = 15 \; \text{m/s}$.
मान लीजिए ट्रेन की लंबाई $L_t$ है और प्लेटफॉर्म की लंबाई $L_p$ है।
जब ट्रेन प्लेटफॉर्म पर खड़े व्यक्ति को पार करती है, तो वह $20 \; \text{सेकंड}$ में अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करती है:
$L_t = \text{गति} \times \text{समय} = 15 \times 20 = 300 \; \text{m}$.
जब ट्रेन प्लेटफॉर्म को पार करती है, तो वह $36 \; \text{सेकंड}$ में अपनी लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई के योग के बराबर दूरी तय करती है:
$L_t + L_p = \text{गति} \times \text{समय} = 15 \times 36 = 540 \; \text{m}$.
$L_t$ का मान रखने पर:
$300 + L_p = 540$
$L_p = 540 - 300 = 240 \; \text{m}$.
अतः, प्लेटफॉर्म की लंबाई $240 \; \text{m}$ है।

(C) माना पुल की लंबाई $x \; m$ है।
पुल को पार करने के लिए ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी = (ट्रेन की लंबाई + पुल की लंबाई) = $(130 + x) \; m$.
ट्रेन की गति = $45 \; km/hr$.
गति को $m/s$ में बदलने पर: $45 \times \frac{5}{18} = 12.5 \; m/s$.
लिया गया समय = $30 \; s$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$.
$130 + x = 12.5 \times 30$.
$130 + x = 375$.
$x = 375 - 130 = 245 \; m$.
अतः,पुल की लंबाई $245 \; m$ है।

(C) धीमी ट्रेन के सापेक्ष तेज ट्रेन की सापेक्ष गति $72 - 54 = 18 \; km/h$ है।
इस गति को $m/s$ में बदलने पर: $18 \times \frac{5}{18} = 5 \; m/s$ प्राप्त होता है।
तेज ट्रेन द्वारा दूसरी ट्रेन को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $100 + 120 = 220 \; m$।
लिया गया समय = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{220}{5} = 44 \; s$।

(B) ट्रेन की गति $= 30 \; km/hr = 30 \times \frac{5}{18} \; m/s = \frac{25}{3} \; m/s$.
ट्रेन द्वारा खड़े व्यक्ति को पार करने में लिया गया समय $= \frac{\text{ट्रेन की लंबाई}}{\text{ट्रेन की गति}} = \frac{100 \; m}{\frac{25}{3} \; m/s}$.
समय $= \frac{100 \times 3}{25} = 12 \; sec$.

(B) ट्रेन की गति $= 120 \; km/hr = 120 \times \frac{5}{18} \; m/s = \frac{100}{3} \; m/s$.
प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी $=$ ट्रेन की लंबाई $+$ प्लेटफॉर्म की लंबाई।
कुल दूरी $= 120 \; m + 130 \; m = 250 \; m$.
लिया गया समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{ट्रेन की गति}}$.
लिया गया समय $= \frac{250}{\frac{100}{3}} = \frac{250 \times 3}{100} = \frac{750}{100} = 7.5 \; sec$.

(C) चरण $1$: ट्रेन की गति को $km/hr$ से $m/s$ में बदलें।
गति $= 135 \times \frac{5}{18} = 7.5 \times 5 = 37.5 \; m/s$.
चरण $2$: मान लीजिए ट्रेन की लंबाई $l$ मीटर है। चूंकि प्लेटफॉर्म की लंबाई ट्रेन की लंबाई के बराबर है,इसलिए प्लेटफॉर्म की लंबाई भी $l$ मीटर होगी।
चरण $3$: जब कोई ट्रेन प्लेटफॉर्म को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है।
कुल दूरी $= l + l = 2l$.
चरण $4$: सूत्र का उपयोग करें: $\text{गति} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{समय}}$.
$37.5 = \frac{2l}{40}$.
चरण $5$: $l$ के लिए हल करें।
$2l = 37.5 \times 40$.
$2l = 1500$.
$l = 750 \; m$.
अतः,ट्रेन की लंबाई $750 \; m$ है।

(C) तेज ट्रेन की धीमी ट्रेन के सापेक्ष गति $= 45 - 36 = 9 \; km/hr$ है।
$m/s$ में बदलने पर: $9 \times \frac{5}{18} = 2.5 \; m/s$।
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी $=$ दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग $= 250 + 200 = 450 \; m$ है।
एक-दूसरे को पार करने में लगा समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{450}{2.5} = 180 \; sec$।

(D) पहली ट्रेन की गति $= 60 \; km/hr = 60 \times \frac{5}{18} \; m/s = \frac{50}{3} \; m/s$.
मान लीजिए दूसरी ट्रेन की गति $x \; m/s$ है।
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी: $\text{सापेक्ष गति} = (\frac{50}{3} + x) \; m/s$.
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $\text{कुल दूरी} = 120 \; m + 130 \; m = 250 \; m$.
सूत्र $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{50}{3} + x = \frac{250}{6}$.
$\frac{50}{3} + x = \frac{125}{3}$.
$x = \frac{125}{3} - \frac{50}{3} = \frac{75}{3} = 25 \; m/s$.
गति को $km/hr$ में बदलने पर: $25 \times \frac{18}{5} = 90 \; km/hr$.