Problems on Ages Questions in Hindi

(B) माना सुनील और सुरेश की वर्तमान आयु क्रमशः $2x$ और $3x$ है।
चार वर्ष पहले,उनकी आयु क्रमशः $(2x - 4)$ और $(3x - 4)$ थी।
प्रश्न के अनुसार,चार वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात $5:8$ था:
$\frac{2x - 4}{3x - 4} = \frac{5}{8}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$8(2x - 4) = 5(3x - 4)$
$16x - 32 = 15x - 20$
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$16x - 15x = 32 - 20$
$x = 12$
अतः,सुनील की वर्तमान आयु $= 2x = 2 \times 12 = 24$ वर्ष।
सुरेश की वर्तमान आयु $= 3x = 3 \times 12 = 36$ वर्ष।

(C) माना मोहन और मधु की वर्तमान आयु क्रमशः $3x$ और $4x$ वर्ष है।
$8$ वर्ष बाद,उनकी आयु $(3x + 8)$ और $(4x + 8)$ वर्ष होगी।
प्रश्न के अनुसार,$8$ वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $4:5$ है:
$\frac{3x + 8}{4x + 8} = \frac{4}{5}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$5(3x + 8) = 4(4x + 8)$
$15x + 40 = 16x + 32$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$16x - 15x = 40 - 32$
$x = 8$
अतः,मोहन की वर्तमान आयु $3x = 3 \times 8 = 24$ वर्ष है।
मधु की वर्तमान आयु $4x = 4 \times 8 = 32$ वर्ष है।

(D) माना कि माँ की आयु $x$ वर्ष है।
बेटे की आयु $= \frac{x}{2}$ वर्ष।
चूँकि भाई (बेटा) अपनी बहन (बेटी) से $7$ वर्ष बड़ा है,इसलिए बेटी की आयु $= \frac{x}{2} - 7$ वर्ष।
पिता की आयु बेटी की आयु की तीन गुनी है,इसलिए पिता की आयु $= 3 \left( \frac{x}{2} - 7 \right)$ वर्ष।
यह दिया गया है कि पत्नी (माँ) अपने पति (पिता) से $9$ वर्ष छोटी है,इसलिए समीकरण: $3 \left( \frac{x}{2} - 7 \right) - x = 9$ होगा।
$\frac{3x}{2} - 21 - x = 9$.
$\frac{x}{2} - 21 = 9$.
$\frac{x}{2} = 30$.
$x = 60$.
अतः,माँ की आयु $60$ वर्ष है।

(B) माना पुत्र की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
अतः,पिता की वर्तमान आयु $3x$ वर्ष है।
$5$ वर्ष पहले,पुत्र की आयु $(x - 5)$ वर्ष थी और पिता की आयु $(3x - 5)$ वर्ष थी।
प्रश्न के अनुसार,$5$ वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की $4$ गुनी थी:
$3x - 5 = 4(x - 5)$
$3x - 5 = 4x - 20$
$4x - 3x = 20 - 5$
$x = 15$
अतः,पुत्र की वर्तमान आयु $15$ वर्ष है।

(D) माना बड़े और छोटे बेटे की आयु क्रमशः $x_{1}$ और $x_{2}$ है।
$\therefore$ पिता की आयु $= 2x_{1}$.
दस वर्ष बाद:
पिता की आयु $= 2x_{1} + 10$.
छोटे बेटे की आयु $= x_{2} + 10$.
प्रश्न के अनुसार,$2x_{1} + 10 = 3(x_{2} + 10)$ .... $(1)$.
यह दिया गया है कि दोनों बेटों की आयु का अंतर $15 \text{ वर्ष}$ है,इसलिए $x_{1} - x_{2} = 15 \implies x_{2} = x_{1} - 15$.
$x_{2}$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x_{1} + 10 = 3(x_{1} - 15 + 10)$.
$2x_{1} + 10 = 3(x_{1} - 5)$.
$2x_{1} + 10 = 3x_{1} - 15$.
$x_{1} = 25$.
अतः,बड़े बेटे की आयु $25 \text{ वर्ष}$ है।
पिता की आयु $= 2x_{1} = 2 \times 25 = 50 \text{ वर्ष}$.

(A) माना $X$ और $Y$ की वर्तमान आयु क्रमशः $x$ और $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x = \frac{1}{2}y$,जिसका अर्थ है $y = 2x$ (समीकरण $1$)।
$20$ वर्ष बाद,$X$ की आयु $(x + 20)$ होगी और $Y$ की आयु $(y + 20)$ होगी।
प्रश्न में कहा गया है कि $20$ वर्ष बाद,$Y$ की आयु $X$ की आयु की $1 \frac{1}{2}$ (या $\frac{3}{2}$) गुनी होगी:
$y + 20 = \frac{3}{2}(x + 20)$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से $y = 2x$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$2x + 20 = \frac{3}{2}(x + 20)$.
भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$4x + 40 = 3(x + 20)$.
$4x + 40 = 3x + 60$.
$4x - 3x = 60 - 40$.
$x = 20$.
अतः,$X$ की वर्तमान आयु $20$ वर्ष है।

(A) माना रोनित की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
चूंकि पिता की आयु पुत्र से तीन गुना अधिक है,इसलिए पिता की आयु $x + 3x = 4x$ वर्ष होगी।
$8$ वर्ष बाद,रोनित की आयु $(x + 8)$ और पिता की आयु $(4x + 8)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,$(4x + 8) = 2.5(x + 8)$.
$4x + 8 = 2.5x + 20$.
$4x - 2.5x = 20 - 8$.
$1.5x = 12$.
$x = 12 / 1.5 = 8$.
अतः,रोनित की वर्तमान आयु $8$ वर्ष और पिता की वर्तमान आयु $4 \times 8 = 32$ वर्ष है।
इसके $8$ वर्ष और बाद (वर्तमान से कुल $16$ वर्ष बाद),रोनित की आयु $8 + 16 = 24$ वर्ष होगी।
पिता की आयु $32 + 16 = 48$ वर्ष होगी।
पिता की आयु और रोनित की आयु का अनुपात $= 48 / 24 = 2$.
इस प्रकार,पिता की आयु रोनित की आयु की $2$ गुना होगी।

(D) मान लीजिए $Q, R,$ और $T$ की आयु क्रमशः $q, r,$ और $t$ है।
प्रश्न के अनुसार,$Q, R$ से उतना ही छोटा है जितना वह $T$ से बड़ा है।
अतः,$r - q = q - t$ होगा।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$r + t = 2q$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि $R$ और $T$ की आयु का योग $60 \text{ years}$ है,अर्थात $r + t = 60$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2q = 60$,जिससे $q = 30$ प्राप्त होता है।
$R$ और $Q$ की आयु के बीच का अंतर $r - q$ है।
समीकरण $r - q = q - t$ में $q = 30$ रखने पर,$r - 30 = 30 - t$,अर्थात $r + t = 60$।
अतः,$r - q = 30 - t$। विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $15$ है।

(B) माना पुत्र की वर्तमान आयु $x$ वर्ष और पिता की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
$10$ वर्ष पहले,पिता की आयु $y-10$ और पुत्र की आयु $x-10$ थी।
प्रश्न के अनुसार: $y-10 = 3(x-10) \implies y-10 = 3x-30 \implies y = 3x-20$ ..... $(1)$
$10$ वर्ष बाद,पिता की आयु $y+10$ और पुत्र की आयु $x+10$ होगी।
प्रश्न के अनुसार: $y+10 = 2(x+10) \implies y+10 = 2x+20 \implies y = 2x+10$ ..... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$3x-20 = 2x+10$
$3x-2x = 10+20$
$x = 30$
$x=30$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$y = 2(30)+10 = 60+10 = 70$
उनकी वर्तमान आयु का अनुपात $y:x = 70:30 = 7:3$ है।

(D) माना पुत्र और पिता की वर्तमान आयु क्रमशः $x$ और $y$ है।
अठारह वर्ष पहले,पुत्र की आयु $(x - 18)$ और पिता की आयु $(y - 18)$ थी।
प्रश्न के अनुसार: $(y - 18) = 3(x - 18) \implies y - 18 = 3x - 54 \implies y = 3x - 36$ $(1)$.
वर्तमान में,पिता की आयु पुत्र की आयु की दोगुनी है:
$y = 2x$ $(2)$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x = 3x - 36$
$x = 36$.
अब,पिता की आयु ज्ञात करें:
$y = 2(36) = 72$.
उनकी वर्तमान आयु का योग है:
$x + y = 36 + 72 = 108$.

(D) माना नीलम और शान की स्कूली आयु क्रमशः $5k$ और $6k$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
प्रश्न के अनुसार,नीलम की आयु के एक-तिहाई और शान की आयु के आधे का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{\frac{1}{3}(5k)}{\frac{1}{2}(6k)} = \frac{5k/3}{3k} = \frac{5k}{9k} = \frac{5}{9}$.
चूँकि $k$ के किसी भी मान के लिए अनुपात $\frac{5}{9}$ ही रहता है,इसलिए $k$ का कोई विशिष्ट मान प्राप्त नहीं होता है।
अतः,दी गई जानकारी से शान की स्कूली आयु $(6k)$ को निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

(C) माना कि दो भाइयों की वर्तमान आयु क्रमशः $x$ और $y$ है।
दिया गया है कि उनकी वर्तमान आयु का अनुपात $x:y = 1:2$ है,जिसका अर्थ है $y = 2x$।
$5$ वर्ष पहले,उनकी आयु क्रमशः $(x-5)$ और $(y-5)$ थी।
प्रश्न के अनुसार,$5$ वर्ष पहले का अनुपात $1:3$ था,इसलिए $\frac{x-5}{y-5} = \frac{1}{3}$।
तिर्यक गुणा करने पर $3(x-5) = y-5$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3x - 15 = y - 5$ मिलता है।
समीकरण में $y = 2x$ रखने पर: $3x - 15 = 2x - 5$।
$x$ के लिए हल करने पर: $3x - 2x = 15 - 5$,अतः $x = 10$।
इस प्रकार,वर्तमान आयु $x = 10$ वर्ष और $y = 2x = 20$ वर्ष है।
$5$ वर्ष बाद,उनकी आयु $(10+5) = 15$ वर्ष और $(20+5) = 25$ वर्ष होगी।
$5$ वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ होगा।

(D) माना कि बेटे की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
अतः,आदमी की वर्तमान आयु $(x + 24)$ वर्ष है।
$2$ वर्ष बाद,बेटे की आयु $(x + 2)$ वर्ष होगी और आदमी की आयु $(x + 24 + 2) = (x + 26)$ वर्ष होगी।
प्रश्न के अनुसार,$2$ वर्ष बाद आदमी की आयु बेटे की आयु की दोगुनी होगी:
$x + 26 = 2(x + 2)$
$x + 26 = 2x + 4$
$26 - 4 = 2x - x$
$x = 22$
अतः,बेटे की वर्तमान आयु $22$ वर्ष है।

(A) मान लीजिए कि $X$ और $Y$ की वर्तमान आयु क्रमशः $5k$ और $6k$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$7$ वर्ष बाद,$X$ की आयु $5k + 7$ होगी और $Y$ की आयु $6k + 7$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,$7$ वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $6:7$ होगा।
अतः,$\frac{5k + 7}{6k + 7} = \frac{6}{7}$।
तिर्यक गुणा करने पर,$7(5k + 7) = 6(6k + 7)$।
$35k + 49 = 36k + 42$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$36k - 35k = 49 - 42$।
$k = 7$।
$X$ की वर्तमान आयु $5k = 5 \times 7 = 35$ वर्ष है।

(A) माना कि $P$ और $Q$ की वर्तमान आयु क्रमशः $5k$ और $7k$ है।
प्रश्न के अनुसार,$Q$ की वर्तमान आयु $(7k)$ और $6$ वर्ष बाद $P$ की आयु $(5k + 6)$ के बीच का अंतर $2$ है।
अतः,$7k - (5k + 6) = 2$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $7k - 5k - 6 = 2$.
$2k - 6 = 2$.
$2k = 8$.
$k = 4$.
उनकी वर्तमान आयु का योग $5k + 7k = 12k$ है।
$k = 4$ रखने पर,योग $12 \times 4 = 48$ वर्ष होगा।

(B) माना अरुण और दीपक की वर्तमान आयु क्रमशः $4k$ और $3k$ है।
प्रश्न के अनुसार,$6$ वर्ष बाद,अरुण की आयु $26$ वर्ष होगी।
अतः,$4k + 6 = 26$ है।
दोनों पक्षों से $6$ घटाने पर,हमें $4k = 20$ प्राप्त होता है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $k = 5$ प्राप्त होता है।
इसलिए,दीपक की वर्तमान आयु $3k = 3 \times 5 = 15$ वर्ष है।

(A) माना समीर और आनंद की वर्तमान आयु क्रमशः $5k$ और $4k$ है।
तीन वर्ष बाद,उनकी आयु $(5k + 3)$ और $(4k + 3)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,तीन वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $11:9$ होगा।
अतः,$\frac{5k + 3}{4k + 3} = \frac{11}{9}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$9(5k + 3) = 11(4k + 3)$.
$45k + 27 = 44k + 33$.
$45k - 44k = 33 - 27$.
$k = 6$.
इसलिए,आनंद की वर्तमान आयु $= 4k = 4 \times 6 = 24$ वर्ष।

(D) मान लीजिए कि $P$ और $Q$ की वर्तमान आयु क्रमशः $6k$ और $7k$ है।
दिया गया है कि $Q$,$P$ से $4 \text{ वर्ष}$ बड़ा है,इसलिए $7k - 6k = 4$,जिसका अर्थ है $k = 4$।
$P$ की वर्तमान आयु $6 \times 4 = 24 \text{ वर्ष}$ है और $Q$ की वर्तमान आयु $7 \times 4 = 28 \text{ वर्ष}$ है।
$4 \text{ वर्ष}$ बाद,$P$ की आयु $24 + 4 = 28 \text{ वर्ष}$ होगी और $Q$ की आयु $28 + 4 = 32 \text{ वर्ष}$ होगी।
$4 \text{ वर्ष}$ बाद उनकी आयु का अनुपात $\frac{28}{32} = \frac{7}{8}$ होगा।

(A) मान लीजिए कुणाल और सागर की वर्तमान आयु क्रमशः $K$ और $S$ वर्ष है।
छह साल पहले,उनकी आयु का अनुपात $6:5$ था:
$\frac{K-6}{S-6} = \frac{6}{5}$
$5(K-6) = 6(S-6)$
$5K - 30 = 6S - 36$
$5K - 6S = -6$ ...... $(1)$
चार साल बाद,उनकी आयु का अनुपात $11:10$ होगा:
$\frac{K+4}{S+4} = \frac{11}{10}$
$10(K+4) = 11(S+4)$
$10K + 40 = 11S + 44$
$10K - 11S = 4$ ...... $(2)$
$S$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करें:
$10K - 12S = -12$ ...... $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाएं:
$(10K - 12S) - (10K - 11S) = -12 - 4$
$-S = -16$
$S = 16$
अतः,सागर की वर्तमान आयु $16$ वर्ष है।

(A) माना कि व्यक्ति की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,शर्त इस प्रकार है:
$x = 3(x + 3) - 3(x - 3)$
पदों का विस्तार करने पर:
$x = 3x + 9 - 3x + 9$
समीकरण को सरल करने पर:
$x = (3x - 3x) + (9 + 9)$
$x = 18$
अतः,व्यक्ति की वर्तमान आयु $18$ वर्ष है।

(C) मान लीजिए मोहन की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और राम की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।
पहली शर्त के अनुसार,$10$ वर्ष पहले:
$x - 10 = 3(y - 10)$
$x - 10 = 3y - 30$
$x - 3y = -20$ .......$(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$10$ वर्ष बाद:
$x + 10 = 2(y + 10)$
$x + 10 = 2y + 20$
$x - 2y = 10$ .......$(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-20)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 20$
$y = 30$
समीकरण $(2)$ में $y = 30$ रखने पर:
$x - 2(30) = 10$
$x - 60 = 10$
$x = 70$
अतः,मोहन की वर्तमान आयु $70$ वर्ष है।

(A) माना $Ram$ की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
चूंकि उनकी आयु का अंतर $16$ वर्ष है,इसलिए $Shyam$ की वर्तमान आयु $(x + 16)$ वर्ष होगी।
$6$ वर्ष पहले,$Ram$ की आयु $(x - 6)$ वर्ष थी और $Shyam$ की आयु $(x + 16 - 6) = (x + 10)$ वर्ष थी।
प्रश्न के अनुसार,$6$ वर्ष पहले $Shyam$ की आयु $Ram$ की आयु की तीन गुनी थी:
$x + 10 = 3(x - 6)$
$x + 10 = 3x - 18$
$2x = 28$
$x = 14$
अतः,$Ram$ की वर्तमान आयु $14$ वर्ष है और $Shyam$ की वर्तमान आयु $14 + 16 = 30$ वर्ष है।

(B) माना कि रोहित की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,$15$ वर्ष बाद उसकी आयु $(x + 15)$ वर्ष होगी।
$15$ वर्ष पहले उसकी आयु $(x - 15)$ वर्ष थी।
दी गई शर्त के अनुसार,$15$ वर्ष बाद उसकी आयु $15$ वर्ष पहले की आयु की चार गुनी होगी:
$x + 15 = 4(x - 15)$
$x + 15 = 4x - 60$
$4x - x = 15 + 60$
$3x = 75$
$x = 25$
अतः,रोहित की वर्तमान आयु $25$ वर्ष है।

(B) माना वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार:
$125 \% \text{ of } (x - 10) = x$
$83 \frac{1}{3} \% \text{ of } (x + 10) = x$
चूंकि दोनों व्यंजक $x$ के बराबर हैं, हम उन्हें बराबर कर सकते हैं:
$125 \% \text{ of } (x - 10) = 83 \frac{1}{3} \% \text{ of } (x + 10)$
प्रतिशत को भिन्न में बदलने पर:
$125 \% = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$
$83 \frac{1}{3} \% = \frac{250}{300} = \frac{5}{6}$
अतः, $\frac{5}{4}(x - 10) = \frac{5}{6}(x + 10)$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{4}(x - 10) = \frac{1}{6}(x + 10)$
$6(x - 10) = 4(x + 10)$
$6x - 60 = 4x + 40$
$2x = 100$
$x = 50 \, \text{वर्ष}$.

(A) माना पुत्र की आयु $x$ वर्ष है और पिता की आयु $y$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,हमारे पास दो रैखिक समीकरण हैं:
$2x + y = 70$ ---(समीकरण $1$)
$x + 2y = 95$ ---(समीकरण $2$)
$y$ (पिता की आयु) का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करें:
$4x + 2y = 140$ ---(समीकरण $3$)
अब,समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाएं:
$(4x + 2y) - (x + 2y) = 140 - 95$
$3x = 45$,इसलिए $x = 15$.
$x = 15$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$2(15) + y = 70$
$30 + y = 70$
$y = 70 - 30 = 40$.
अतः,पिता की आयु $40 \text{ वर्ष}$ है।

(C) $3 \text{ वर्ष}$ पहले $5$ सदस्यों की आयु का योग $5 \times 17 = 85 \text{ वर्ष}$ था।
इन $5$ सदस्यों की वर्तमान आयु का योग $= 85 + (5 \times 3) = 85 + 15 = 100 \text{ वर्ष}$ है।
अब,परिवार में $6$ सदस्य हैं (बच्चे सहित) और औसत आयु अभी भी $17 \text{ वर्ष}$ है।
आज $6$ सदस्यों की आयु का कुल योग $= 6 \times 17 = 102 \text{ वर्ष}$ है।
अतः,बच्चे की आयु $= 102 - 100 = 2 \text{ वर्ष}$ है।

(B) माना $A$ और $B$ की वर्तमान आयु क्रमशः $4x$ और $5x$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,$B$ की $5$ वर्ष बाद की आयु $(5x + 5)$ और $A$ की वर्तमान आयु $(4x)$ के बीच का अंतर $3$ है।
अतः,$5x - (4x + 5) = 3$ (यहाँ $B$ की वर्तमान आयु और $A$ की $5$ वर्ष बाद की आयु का अंतर लिया गया है)।
$x - 5 = 3 \implies x = 8$.
इसलिए,$A = 4 \times 8 = 32$ वर्ष और $B = 5 \times 8 = 40$ वर्ष।
$A$ और $B$ की वर्तमान आयु का योग $= 32 + 40 = 72$ वर्ष।

(D) माना $A$ और $B$ की वर्तमान आयु क्रमशः $6x$ और $5x$ वर्ष है।
दिया गया है कि उनकी आयु का योग $44$ वर्ष है:
$6x + 5x = 44$
$11x = 44$
$x = 4$
अतः,$A$ की वर्तमान आयु $= 6 \times 4 = 24 \text{ वर्ष}$ और $B$ की वर्तमान आयु $= 5 \times 4 = 20 \text{ वर्ष}$ है।
$8$ वर्ष बाद,$A$ की आयु $24 + 8 = 32 \text{ वर्ष}$ होगी और $B$ की आयु $20 + 8 = 28 \text{ वर्ष}$ होगी।
$8$ वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $32: 28$ होगा।
दोनों पदों को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $8: 7$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि एक वर्ष पहले समीर और अशोक की आयु क्रमशः $4x$ और $3x$ वर्ष थी।
अतः,उनकी वर्तमान आयु है:
समीर की वर्तमान आयु $= (4x + 1)$ वर्ष
अशोक की वर्तमान आयु $= (3x + 1)$ वर्ष
एक वर्ष बाद,उनकी आयु होगी:
समीर की आयु $= (4x + 1 + 1) = (4x + 2)$ वर्ष
अशोक की आयु $= (3x + 1 + 1) = (3x + 2)$ वर्ष
प्रश्न के अनुसार,एक वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $5:4$ है:
$\frac{4x + 2}{3x + 2} = \frac{5}{4}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$4(4x + 2) = 5(3x + 2)$
$16x + 8 = 15x + 10$
$16x - 15x = 10 - 8$
$x = 2$
उनकी वर्तमान आयु का योग है:
$(4x + 1) + (3x + 1) = 7x + 2$
$x = 2$ रखने पर:
$7(2) + 2 = 14 + 2 = 16$ वर्ष।

(C) माना कि अशोक और प्रदीप की वर्तमान आयु क्रमशः $4x$ और $3x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$6$ वर्ष बाद अशोक की आयु $26$ वर्ष होगी।
अतः,$4x + 6 = 26$।
दोनों पक्षों से $6$ घटाने पर,हमें $4x = 20$ प्राप्त होता है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।
इसलिए,प्रदीप की वर्तमान आयु $3x = 3 \times 5 = 15$ वर्ष है।

(B) मान लीजिए कि जयेश,अनिल और प्रशांत की आयु क्रमशः $J$,$A$ और $P$ है।
प्रश्न के अनुसार,जयेश अनिल से उतना ही छोटा है जितना वह प्रशांत से बड़ा है।
इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $A - J = J - P$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $A + P = 2J$.
हमें दिया गया है कि अनिल और प्रशांत की आयु का योग $48 \text{ वर्ष}$ है,इसलिए $A + P = 48$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2J = 48$.
अतः,$J = 24 \text{ वर्ष}$।

(C) माना श्री सोहनलाल की वर्तमान आयु $x$ $\text{वर्ष}$ है और उनके पुत्र की वर्तमान आयु $y$ $\text{वर्ष}$ है।
पहली शर्त के अनुसार, $5 \, \text{वर्ष}$ पहले:
$(x - 5) = 3(y - 5)$
$x - 5 = 3y - 15$
$x - 3y = -10$ --- (समीकरण $1$)
दूसरी शर्त के अनुसार, $10 \, \text{वर्ष}$ बाद:
$(x + 10) = 2(y + 10)$
$x + 10 = 2y + 20$
$x - 2y = 10$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 10$
$y = 20$
$y = 20$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$x - 2(20) = 10$
$x - 40 = 10$
$x = 50$
अतः, श्री सोहनलाल की वर्तमान आयु $50 \, \text{वर्ष}$ है।

(B) माना पिता की वर्तमान आयु $F$ है और पुत्र की वर्तमान आयु $S$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $3F = 8S$,जिसका अर्थ है $F = \frac{8}{3}S$.
दूसरी शर्त के अनुसार,$8$ वर्ष बाद: $(F + 8) = 2(S + 8)$.
दूसरे समीकरण में $F = \frac{8}{3}S$ रखने पर:
$\frac{8}{3}S + 8 = 2(S + 8)$
$\frac{8}{3}S + 8 = 2S + 16$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$8S + 24 = 6S + 48$
$8S - 6S = 48 - 24$
$2S = 24$
$S = 12$.
अब,पिता की आयु $F$ ज्ञात करें:
$F = \frac{8}{3} \times 12 = 8 \times 4 = 32$.
अतः,पिता की वर्तमान आयु $32$ वर्ष और पुत्र की $12$ वर्ष है।

(B) माना पिता की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
तब,पुत्र की वर्तमान आयु $(45 - x)$ वर्ष है।
$5$ वर्ष पहले,पिता की आयु $(x - 5)$ वर्ष थी और पुत्र की आयु $(45 - x - 5) = (40 - x)$ वर्ष थी।
प्रश्न के अनुसार,$5$ वर्ष पहले उनकी आयु का गुणनफल उस समय पिता की आयु का $4$ गुना था:
$(x - 5)(40 - x) = 4(x - 5)$
चूंकि $x = 5$ संभव नहीं है,इसलिए दोनों पक्षों को $(x - 5)$ से विभाजित करने पर:
$40 - x = 4$
$x = 40 - 4 = 36$
अतः,पिता की वर्तमान आयु $36$ वर्ष है।

(C) माना पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः $x$ और $y$ $years$ है।
पहली शर्त के अनुसार,एक वर्ष पहले:
$(x - 1) = 4(y - 1)$
$x - 1 = 4y - 4$
$x - 4y = -3$ ..........$(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$6$ $years$ बाद:
$(x + 6) = 2(y + 6) + 9$
$x + 6 = 2y + 12 + 9$
$x - 2y = 15$ ..........$(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x - 2y) - (x - 4y) = 15 - (-3)$
$2y = 18$
$y = 9$
$y = 9$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$x - 2(9) = 15$
$x - 18 = 15$
$x = 33$
अतः,उनकी वर्तमान आयु का अनुपात $x : y = 33 : 9 = 11 : 3$ है।

(B) माना कि $A$ की आयु $x$ वर्ष है।
$B$ की आयु $2x$ वर्ष है।
$C$ की आयु $(x + 17)$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,उनकी आयु का योग $185$ वर्ष है:
$x + 2x + (x + 17) = 185$
$4x + 17 = 185$
$4x = 185 - 17$
$4x = 168$
$x = 42$
अतः,$A$ की आयु $42$ वर्ष है,$B$ की आयु $2 \times 42 = 84$ वर्ष है,और $C$ की आयु $42 + 17 = 59$ वर्ष है।

(A) माना पिता की वर्तमान आयु $x$ है और उनके दो बच्चों की वर्तमान आयु का योग $y$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$x = 3y$ ......... $(1)$
$20$ वर्ष बाद,पिता की आयु $(x + 20)$ होगी और बच्चों की आयु का योग $(y + 20 + 20)$ होगा क्योंकि प्रत्येक बच्चे की आयु में $20$ वर्ष की वृद्धि होगी।
दूसरी शर्त के अनुसार,$x + 20 = y + 40$ ......... $(2)$
समीकरण $(1)$ से $x = 3y$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$3y + 20 = y + 40$
$2y = 20$
$y = 10$
अब,पिता की आयु $x$ ज्ञात करें:
$x = 3 \times 10 = 30$ वर्ष।

(B) माना कि $A$ और $B$ की वर्तमान आयु क्रमशः $5x$ और $7x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$18$ वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात $8: 13$ था।
अतः,$\frac{5x - 18}{7x - 18} = \frac{8}{13}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $13(5x - 18) = 8(7x - 18)$.
$65x - 234 = 56x - 144$.
$65x - 56x = 234 - 144$.
$9x = 90$.
$x = 10$.
अतः,$A$ की वर्तमान आयु = $5x = 5 \times 10 = 50$ वर्ष।

(C) आसान गणना के लिए सभी आयु को महीनों में बदलें।
$30$ छात्रों की प्रारंभिक कुल आयु = $30 \times (14 \times 12 + 4) = 30 \times 172 = 5160$ महीने।
$35$ छात्रों की नई कुल आयु = $35 \times (13 \times 12 + 9) = 35 \times 165 = 5775$ महीने।
$5$ नए छात्रों की कुल आयु = $5775 - 5160 = 615$ महीने।
सबसे छोटे छात्र की आयु = $9$ वर्ष $11$ महीने = $(9 \times 12 + 11) = 119$ महीने।
शेष $4$ छात्रों की कुल आयु = $615 - 119 = 496$ महीने।
शेष $4$ छात्रों की औसत आयु = $496 / 4 = 124$ महीने।
$124$ महीने = $10$ वर्ष $4$ महीने।

(D) माना बड़े भाई की वर्तमान आयु $A$ है और छोटे भाई की वर्तमान आयु $B$ है。
दिया गया है कि उनकी आयु के बीच का अंतर $8 \, \text{वर्ष}$ है, इसलिए $A - B = 8$ (समीकरण $1$)。
$10 \, \text{वर्ष}$ बाद, बड़े भाई की आयु $(A + 10)$ और छोटे भाई की आयु $(B + 10)$ होगी。
$10 \, \text{वर्ष}$ बाद उनकी आयु का योग उनकी वर्तमान आयु के योग $(A + B)$ का दोगुना हो जाएगा。
अतः, $(A + 10) + (B + 10) = 2(A + B)$。
$A + B + 20 = 2A + 2B$。
$A + B = 20$ (समीकरण $2$)。
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(A - B) + (A + B) = 8 + 20 \Rightarrow 2A = 28 \Rightarrow A = 14$。
समीकरण $2$ में $A = 14$ रखने पर: $14 + B = 20 \Rightarrow B = 6$。
छोटे भाई की आयु और बड़े भाई की आयु का अनुपात $B : A = 6 : 14 = 3 : 7$ है。

(D) मान लीजिए कि पांच सदस्यों की आयु का योग $S$ है। औसत आयु $S/5$ है।
$3$ वर्ष पहले,उन्हीं पांच सदस्यों की आयु का योग $S - (5 \times 3) = S - 15$ था।
मान लीजिए कि प्रतिस्थापित सदस्य की आयु $x$ है और नए सदस्य की आयु $y$ है।
नया योग $S - x + y$ है।
प्रश्न के अनुसार,नया औसत $3$ वर्ष पहले के औसत के बराबर है,अर्थात $(S - x + y) / 5 = (S - 15) / 5$।
इसलिए,$S - x + y = S - 15$।
अतः,$x - y = 15$।
प्रतिस्थापित सदस्य और नए सदस्य की आयु के बीच का अंतर $15$ वर्ष है।

(C) मान लीजिए कि $A$ और $B$ की वर्तमान आयु क्रमशः $7x$ और $9x$ वर्ष है।
$6$ वर्ष पहले,$A$ की आयु $(7x - 6)$ और $B$ की आयु $(9x - 6)$ थी।
प्रश्न के अनुसार,$6$ वर्ष पहले $A$ की आयु के $\frac{1}{3}$ भाग और $B$ की आयु के $\frac{1}{3}$ भाग का अनुपात $1:2$ था:
$\frac{\frac{1}{3}(7x - 6)}{\frac{1}{3}(9x - 6)} = \frac{1}{2}$
इसे सरल करने पर:
$\frac{7x - 6}{9x - 6} = \frac{1}{2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$2(7x - 6) = 1(9x - 6)$
$14x - 12 = 9x - 6$
$5x = 6$
$x = \frac{6}{5}$
अब,हमें $6$ वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात ज्ञात करना है:
$6$ वर्ष बाद $A$ की आयु $= 7x + 6 = 7(\frac{6}{5}) + 6 = \frac{42}{5} + 6 = \frac{42 + 30}{5} = \frac{72}{5}$
$6$ वर्ष बाद $B$ की आयु $= 9x + 6 = 9(\frac{6}{5}) + 6 = \frac{54}{5} + 6 = \frac{54 + 30}{5} = \frac{84}{5}$
अभीष्ट अनुपात $= \frac{72/5}{84/5} = \frac{72}{84} = \frac{6}{7} = 6:7$.

(C) $8\, \text{वर्ष}$ पहले कपिल की आयु $5\, \text{वर्ष}$ थी।
अतः, कपिल की वर्तमान आयु $= 5 + 8 = 13\, \text{वर्ष}$ है।
$6\, \text{वर्ष}$ बाद कपिल की आयु $= 13 + 6 = 19\, \text{वर्ष}$ होगी।
प्रश्न के अनुसार, $6\, \text{वर्ष}$ बाद रोमिला के पिता की आयु कपिल की आयु की दोगुनी होगी।
$6\, \text{वर्ष}$ बाद पिता की आयु $= 2 \times 19 = 38\, \text{वर्ष}$ होगी।
पिता की वर्तमान आयु $= 38 - 6 = 32\, \text{वर्ष}$ है।
रोमिला की वर्तमान आयु उसके पिता की वर्तमान आयु की $\frac{1}{4}$ है।
रोमिला की वर्तमान आयु $= \frac{1}{4} \times 32 = 8\, \text{वर्ष}$ है।

(D) माना कि अविवाहित महिला श्रमिकों की संख्या $x$ है।
बच्चों की कुल संख्या = $16$ है।
बच्चों की औसत आयु = $8 \text{ वर्ष}$ है।
बच्चों की कुल आयु = $16 \times 8 = 128 \text{ वर्ष}$ है।
माना कि महिला श्रमिकों की कुल संख्या $W = 10 + x$ है।
महिला श्रमिकों की औसत आयु = $22 \text{ वर्ष}$ है।
महिला श्रमिकों की कुल आयु = $22(10 + x) = 220 + 22x$ है।
कुल श्रमिकों की संख्या = $16 + (10 + x) = 26 + x$ है।
सभी श्रमिकों की औसत आयु $15 \text{ वर्ष}$ है।
अतः,$\frac{128 + 220 + 22x}{26 + x} = 15$ है।
$348 + 22x = 15(26 + x)$ है।
$348 + 22x = 390 + 15x$ है।
$22x - 15x = 390 - 348$ है।
$7x = 42$ है।
$x = 6$ है।
इस प्रकार,अविवाहित महिला श्रमिकों की संख्या $6$ है।

(D) माना पुत्र की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
तब,पिता की वर्तमान आयु $3x$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,$5$ वर्ष बाद:
पिता की आयु = $3x + 5$
पुत्र की आयु = $x + 5$
शर्त के अनुसार: $2(3x + 5) = 5(x + 5)$
समीकरण का विस्तार करने पर: $6x + 10 = 5x + 25$
दोनों पक्षों से $5x$ घटाने पर: $x + 10 = 25$
दोनों पक्षों से $10$ घटाने पर: $x = 15$
अतः,पुत्र की वर्तमान आयु $15$ वर्ष है।
पिता की वर्तमान आयु $3x = 3(15) = 45$ वर्ष है।
इस प्रकार,वर्तमान आयु $45$ और $15$ वर्ष है।

(A) माना कि $5$ वर्ष पहले $4$ सदस्यों की आयु का योग $94$ वर्ष था।
चूंकि $4$ सदस्य हैं,इसलिए $5$ वर्षों में उनकी आयु में कुल वृद्धि $4 \times 5 = 20$ वर्ष होगी।
अतः,उनकी वर्तमान आयु का योग $94 + 20 = 114$ वर्ष है।
अब,बेटी के स्थान पर बहू आ गई है और नया योग $92$ वर्ष हो गया है।
माना बेटी की आयु $D$ है और बहू की आयु $L$ है।
अन्य $3$ सदस्यों की आयु का योग समान रहता है।
अतः,$(3 \text{ सदस्यों का योग}) + D = 114$ और $(3 \text{ सदस्यों का योग}) + L = 92$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $D - L = 114 - 92 = 22$ वर्ष।
इस प्रकार,बेटी और बहू की आयु के बीच का अंतर $22$ वर्ष है।

(D) $1$. $9$ वर्ष बाद परिणीता की आयु $33$ वर्ष है। अतः,परिणीता की वर्तमान आयु $= 33 - 9 = 24$ वर्ष है।
$2$. मनीषा,परिणीता से $9$ वर्ष छोटी है। अतः,मनीषा की वर्तमान आयु $= 24 - 9 = 15$ वर्ष है।
$3$. दीपाली और मनीषा की आयु का अंतर परिणीता की वर्तमान आयु ($24$ वर्ष) के बराबर है। माना दीपाली की आयु $D$ है। अतः,$D - 15 = 24$,जिससे $D = 24 + 15 = 39$ वर्ष प्राप्त होता है।
$4$. मनीषा और दीपाली की आयु का अनुपात $15:39$ है। इस अनुपात को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $5:13$ प्राप्त होता है।
$5$. दिया गया अनुपात $5:x$ है,अतः $5:13$ से तुलना करने पर,हमें $x = 13$ प्राप्त होता है।

(C) माना राम की वर्तमान आयु $6x$ और राकेश की वर्तमान आयु $11x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$4$ वर्ष पहले,उनकी आयु क्रमशः $(6x - 4)$ और $(11x - 4)$ थी।
$4$ वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात $1:2$ था,अतः:
$\frac{6x - 4}{11x - 4} = \frac{1}{2}$
तिर्यक गुणा (cross-multiply) करने पर:
$2(6x - 4) = 1(11x - 4)$
$12x - 8 = 11x - 4$
$12x - 11x = 8 - 4$
$x = 4$
अतः,राकेश की वर्तमान आयु $11x = 11 \times 4 = 44$ वर्ष है।
$5$ वर्ष बाद राकेश की आयु $44 + 5 = 49$ वर्ष होगी।

(D) माना कि $Ram$,$Rohan$ और $Raj$ की वर्तमान आयु क्रमशः $3x$,$4x$ और $5x$ है।
उनकी आयु का औसत $28$ वर्ष दिया गया है।
$\frac{3x + 4x + 5x}{3} = 28$
$\frac{12x}{3} = 28$
$4x = 28$
$x = 7$ वर्ष।
$Ram$ की वर्तमान आयु $= 3x = 3 \times 7 = 21$ वर्ष।
$Rohan$ की वर्तमान आयु $= 4x = 4 \times 7 = 28$ वर्ष।
$5$ वर्ष बाद,$Ram$ की आयु $= 21 + 5 = 26$ वर्ष।
$5$ वर्ष बाद,$Rohan$ की आयु $= 28 + 5 = 33$ वर्ष।
$5$ वर्ष बाद उनकी आयु का योग $= 26 + 33 = 59$ वर्ष।

(B) माना कि पुत्री की आयु $x$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,भाई अपनी बहन (पुत्री) से $5$ वर्ष बड़ा है,इसलिए भाई की आयु $(x + 5)$ वर्ष है।
भाई अपनी माँ से $20$ वर्ष छोटा भी है,जिसका अर्थ है कि माँ की आयु $(x + 5 + 20) = (x + 25)$ वर्ष है।
हमें यह भी दिया गया है कि माँ की आयु पुत्री की आयु की दोगुनी है,इसलिए $2x = x + 25$ है।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x - x = 25$,जिससे $x = 25$ वर्ष प्राप्त होता है।
अतः,माँ की आयु $2 \times 25 = 50$ वर्ष है।
पिता,माँ से $10$ वर्ष बड़े हैं,इसलिए पिता की आयु $50 + 10 = 60$ वर्ष है।