સાબિત કરો કે કોઈપણ આપેલ રેખાખંડ પર સમબાજુ ત્રિકોણની રચના કરી શકાય છે.

(N/A) ઉપરના વિધાનમાં,કોઈપણ લંબાઈનો એક રેખાખંડ આપેલ છે,ધારો કે $AB$ [જુઓ આકૃતિ $(i)$].
અહીં,તમારે કેટલીક રચના કરવાની જરૂર છે. યુક્લિડના પૂર્વધારણા $3$ નો ઉપયોગ કરીને,તમે બિંદુ $A$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $AB$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને એક વર્તુળ દોરી શકો છો [જુઓ આકૃતિ $(ii)$]. તેવી જ રીતે,બિંદુ $B$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $BA$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને બીજું વર્તુળ દોરો. આ બંને વર્તુળો એક બિંદુએ મળે છે,ધારો કે $C$. હવે,$\Delta ABC$ બનાવવા માટે રેખાખંડો $AC$ અને $BC$ દોરો [જુઓ આકૃતિ $(iii)$].
તેથી,તમારે સાબિત કરવાનું છે કે આ ત્રિકોણ સમબાજુ છે,એટલે કે $AB = AC = BC$.
હવે,$AB = AC$,કારણ કે તે એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ છે $(1)$.
તેવી જ રીતે,$AB = BC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) $(2)$.
આ બે તથ્યો પરથી,અને યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય કે જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય તે એકબીજાને સમાન હોય છે,તેના પરથી તમે નિષ્કર્ષ કાઢી શકો છો કે $AB = BC = AC$.
તેથી,$\Delta ABC$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
નોંધો કે અહીં યુક્લિડે ક્યાંય પણ ઉલ્લેખ કર્યા વિના એવું માની લીધું છે કે $A$ અને $B$ કેન્દ્ર લઈને દોરેલા બે વર્તુળો એકબીજાને એક બિંદુએ મળશે.