sumlimits_{n = 0}^infty {frac{{{{(n + 1)}^2}} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{7^n} = \frac{1^2}{7^0} + \frac{2^2}{7^1} + \frac{3^2}{7^2} + \frac{4^2}{7^3} + \dots$$\frac{1}{7}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{49}{27}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{7^n} = \frac{1^2}{7^0} + \frac{2^2}{7^1} + \frac{3^2}{7^2} + \frac{4^2}{7^3} + \dots$$\frac{1}{7}$ વડે ગુણતા:$\frac{S}{7} = \frac{1^2}{7^1} + \frac{2^2}{7^2} + \frac{3^2}{7^3} + \dots$બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:$S - \frac{S}{7} = 1 + \frac{2^2 - 1^2}{7^1} + \frac{3^2 - 2^2}{7^2} + \frac{4^2 - 3^2}{7^3} + \dots$$\frac{6S}{7} = 1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે. ધારો કે $T = 1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$$\frac{T}{7} = \frac{1}{7} + \frac{3}{7^2} + \frac{5}{7^3} + \dots$બાદબાકી કરતા:$T - \frac{T}{7} = 1 + \frac{2}{7} + \frac{2}{7^2} + \frac{2}{7^3} + \dots$$\frac{6T}{7} = 1 + \frac{2/7}{1 - 1/7} = 1 + \frac{2/7}{6/7} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$T = \frac{4}{3} 	imes \frac{7}{6} = \frac{14}{9}$તેથી,$\frac{6S}{7} = \frac{14}{9} \Rightarrow S = \frac{14}{9} 	imes \frac{7}{6} = \frac{49}{27}$.

$\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{7^n}}}}$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

અનંત શ્રેણી $1+\frac{5}{6}+\frac{12}{6^{2}}+\frac{22}{6^{3}}+\frac{35}{6^{4}}+\frac{51}{6^{5}}+\frac{70}{6^{6}}+\ldots$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

નીચેની શ્રેણી $2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots$ નો અનંત સુધીનો સરવાળો કેટલો થશે?

કોઈ એકી પૂર્ણાંક $n \ge 1$ માટે,$n^3 - (n-1)^3 + (n-2)^3 - (n-3)^3 + \dots + (-1)^{n-1} 1^3$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $a_n = (1^2 + 2^2 + \ldots + n^2)^n$ અને $b_n = n^n(n!)$. તો

જો $\frac{2+4+6+8+\dots+ n \text{ પદો સુધી}}{1+3+5+7+\dots+ n \text{ પદો સુધી}} = \frac{37}{36}$ હોય,તો $n = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module