intlimits_0^infty {frac{{{x^3}}}{{1 + x + 2{ | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^\infty  {\frac{{{x^3}}}{{1 + x + 2{x^2} + 2{x^3} + {x^4} + {x^5}}}} dx$. हर का गुणनखंड करने पर: $1 + x + 2x^2 + 2x^3 + x^4 + x^5

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$\frac{{\pi  - 1}}{4}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^\infty  {\frac{{{x^3}}}{{1 + x + 2{x^2} + 2{x^3} + {x^4} + {x^5}}}} dx$. हर का गुणनखंड करने पर: $1 + x + 2x^2 + 2x^3 + x^4 + x^5 = (1+x)(1+x^2)^2$. अतः,$I = \int_0^\infty  {\frac{{{x^3}}}{{(1 + x){{(1 + {x^2})}^2}}}} dx$. $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta d	heta$. जब $x 	o 0, 	heta 	o 0$ और जब $x 	o \infty, 	heta 	o \frac{\pi}{2}$. $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{	an^3 	heta \sec^2 	heta}{(1 + 	an 	heta) \sec^4 	heta} d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 	heta}{\cos 	heta + \sin 	heta} d	heta$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 	heta}{\cos 	heta + \sin 	heta} d	heta$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 	heta + \cos^3 	heta}{\sin 	heta + \cos 	heta} d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 	heta + \cos^2 	heta - \sin 	heta \cos 	heta) d	heta$. $2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \frac{1}{2} \sin 2	heta) d	heta = [	heta + \frac{1}{4} \cos 2	heta]_0^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}) - (0 + \frac{1}{4}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\pi - 1}{2}$. अतः,$I = \frac{\pi - 1}{4}$.

$\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^3}}}{{1 + x + 2{x^2} + 2{x^3} + {x^4} + {x^5}}}} dx$

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$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} = $

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यदि $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx$,$n=0, 1, 2, \ldots$,तो
$(A)$ $I_n = I_{n+2}$
$(B)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$
$(C)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$
$(D)$ $I_n = I_{n+1}$

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