sumlimits_{r = 2}^{16} {intlimits_r^{r + 1} { | vedclass

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Question

(D) माना $I = \sum\limits_{r = 2}^{16} {\int_r^{r + 1} {\frac{{dx}}{{(2r - x)(2r + 2 - x)}}} }$. प्रत्येक समाकलन के लिए,$u = x - (2r + 1)$ लें। तब $du

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$\ln \left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \right)$

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(D) माना $I = \sum\limits_{r = 2}^{16} {\int_r^{r + 1} {\frac{{dx}}{{(2r - x)(2r + 2 - x)}}} }$. प्रत्येक समाकलन के लिए,$u = x - (2r + 1)$ लें। तब $du = dx$. जब $x = r$,तब $u = -r - 1$. जब $x = r + 1$,तब $u = -r$. हर $(2r - (u + 2r + 1))(2r + 2 - (u + 2r + 1)) = (-u - 1)(1 - u) = u^2 - 1$ हो जाता है। अतः,$\int_r^{r+1} \frac{dx}{(2r-x)(2r+2-x)} = \int_{-r-1}^{-r} \frac{du}{u^2 - 1} = \left[ \frac{1}{2} \ln \left| \frac{u-1}{u+1} ight| ight]_{-r-1}^{-r}$. $= \frac{1}{2} \left( \ln \left( \frac{r+1}{r-1} ight) - \ln \left( \frac{r+2}{r} ight) ight)$. $r=2$ से $16$ तक योग करने पर: $\frac{1}{2} \sum_{r=2}^{16} \left( \ln \frac{r+1}{r-1} - \ln \frac{r+2}{r} ight)$. यह एक टेलिस्कोपिंग श्रेणी है: $\frac{1}{2} [(\ln \frac{3}{1} - \ln \frac{4}{2}) + (\ln \frac{4}{2} - \ln \frac{5}{3}) + \dots + (\ln \frac{17}{15} - \ln \frac{18}{16})]$. $= \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln \frac{18}{16}) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{3 	imes 16}{18} ight) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{8}{3} ight) = \ln \left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} ight)$.

$\sum\limits_{r = 2}^{16} {\int\limits_r^{r + 1} {\frac{{dx}}{{\left( {2r - x} \right)\left( {2r + 2 - x} \right)}}} }$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^{2\pi} (\sin x + \cos x) \, dx = $

$\int_{-2}^{2} |1 - x^2| \, dx = $

$\int_0^1 x \left|x - \frac{1}{2}\right| dx = $

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^{\pi^2 / 4} (2 \sin \sqrt{x} + \sqrt{x} \cos \sqrt{x}) \, dx$

$\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \cos^{-4} x \, dx =$

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