int_{0}^{pi /2} (sqrt{sin theta} cos theta)^3 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi /2} (\sqrt{\sin 	heta} \cos 	heta)^3 d	heta = \int_{0}^{\pi /2} \sin^{3/2} 	heta \cos^3 	heta d	heta$.बीटा फलन के सू

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$8/45$

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(C) माना $I = \int_{0}^{\pi /2} (\sqrt{\sin 	heta} \cos 	heta)^3 d	heta = \int_{0}^{\pi /2} \sin^{3/2} 	heta \cos^3 	heta d	heta$.बीटा फलन के सूत्र $\int_{0}^{\pi /2} \sin^m 	heta \cos^n 	heta d	heta = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $m = 3/2$ और $n = 3$ है:$I = \frac{\Gamma(\frac{3/2 + 1}{2}) \Gamma(\frac{3 + 1}{2})}{2 \Gamma(\frac{3/2 + 3 + 2}{2})} = \frac{\Gamma(5/4) \Gamma(2)}{2 \Gamma(13/4)}$.चूँकि $\Gamma(2) = 1! = 1$ और $\Gamma(13/4) = \Gamma(1 + 9/4) = \frac{9}{4} \Gamma(9/4) = \frac{9}{4} \cdot \frac{5}{4} \Gamma(5/4)$:$I = \frac{\Gamma(5/4) \cdot 1}{2 \cdot (\frac{9}{4} \cdot \frac{5}{4} \Gamma(5/4))} = \frac{1}{2 \cdot \frac{45}{16}} = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}$.

$\int_{0}^{\pi /2} (\sqrt{\sin \theta} \cos \theta)^3 d\theta$ का मान क्या है?

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$\int_0^{10} (5 - \sqrt{10x - x^2}) \, dx = $

$\int_{0}^{2} x e^{x} dx =$

$\int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx = $

निम्नलिखित निश्चित समाकलों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$(i)$ $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m(x) \cos (x) d x = \frac{1}{m+1}$
(ii) $\int_0^{\pi / 2} \sin (x) \cos ^n(x) d x = \frac{1}{n+1}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan^n x + \tan^{n-2} x) d(x - [x])$ का मान ज्ञात कीजिए : (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)

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