$\int_2^3 {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {5 - x} + \sqrt x }}} \,dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $I_{n} = \int_{1}^{e} x^{19}(\log |x|)^{n} dx$,જ્યાં $n \in N$. જો $(20) I_{10} = \alpha I_{9} + \beta I_{8}$,પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ માટે હોય,તો $\alpha - \beta$ ની કિંમત ..... થાય.

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx =$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x=$

$x > 0$ માટે,ધારો કે $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log t}{1+t} dt$. તો $f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$ ની કિંમત શોધો: