int {frac{{log x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} का मा | vedclass

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Question

(A) यहाँ हम खंडशः समाकलन (Integration by parts) की विधि का उपयोग करेंगे: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$. माना $u = \log x$ और $d

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$\frac{{ - \log x}}{{x + 1}} + \log x - \log \,(x + 1)$

Vedclass · Answer

(A) यहाँ हम खंडशः समाकलन (Integration by parts) की विधि का उपयोग करेंगे: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$. माना $u = \log x$ और $dv = (x + 1)^{-2} dx$. तब $du = \frac{1}{x} dx$ और $v = -(x + 1)^{-1}$ प्राप्त होता है। सूत्र का उपयोग करने पर: $\int \frac{\log x}{(x + 1)^2} dx = \log x \cdot (-(x + 1)^{-1}) - \int \frac{1}{x} \cdot (-(x + 1)^{-1}) dx$ $= -\frac{\log x}{x + 1} + \int \frac{1}{x(x + 1)} dx$. आंशिक भिन्न (Partial fractions) का उपयोग करने पर: $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$. अतः,$\int \frac{1}{x(x + 1)} dx = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} \right) dx = \log |x| - \log |x + 1| + C$. इस प्रकार,समाकलन का मान $-\frac{\log x}{x + 1} + \log x - \log (x + 1) + C$ है।

$\int {\frac{{\log x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} $ का मान क्या है?

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यदि $f(x) = \frac{1}{\log x}$ और $g(x) = \frac{1}{(\log x)^2}$ है,तो समाकलन $\int \{f(x) - g(x)\} dx$ का मान ज्ञात कीजिए। (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।)

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