વિધેય f(x)=x(x-1)(x-2) માટે અંતરાલ [0, 1/2] મ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x(x-1)(x-2) = x^3-3x^2+2x$. વિકલન કરતા $f'(x) = 3x^2-6x+2$ મળે. લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ મુજબ,એવો $c \in (0, 1/2)$

Vedclass · Accepted Answer

$1-\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x(x-1)(x-2) = x^3-3x^2+2x$. વિકલન કરતા $f'(x) = 3x^2-6x+2$ મળે. લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ મુજબ,એવો $c \in (0, 1/2)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(1/2)-f(0)}{1/2-0}$ થાય. $f(1/2) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}$ અને $f(0) = 0$ છે. તેથી,$f'(c) = \frac{3/8 - 0}{1/2} = \frac{3}{4}$. $3c^2-6c+2 = 3/4$ લેતા,$12c^2-24c+5 = 0$ મળે. દ્વિઘાત સૂત્ર $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$c = \frac{24 \pm \sqrt{576-240}}{24} = \frac{24 \pm \sqrt{336}}{24} = 1 \pm \frac{4\sqrt{21}}{24} = 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ મળે. $c \in (0, 1/2)$ હોવાથી,આપણે $c = 1 - \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ પસંદ કરીશું.

વિધેય $f(x)=x(x-1)(x-2)$ માટે અંતરાલ $[0, 1/2]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $C$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $f$ એ તમામ $x$ માટે વિકલનીય છે અને તમામ $x$ માટે $f'(x) \le 2$ છે. જો $f(1) = 2$ અને $f(4) = 8$ હોય,તો $f(2)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $f(x)$ એ $[0, 2]$ માં વિકલનીય વિધેય છે,$f(0) = 0$ અને $f'(x) \le \frac{1}{2}$ દરેક $x \in [0, 2]$ માટે. તો:

જો $[1, 3]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ એ $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ માટે રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે,તો:

વિધેય $f(x) = \sin(2 \pi x)$ માટે અંતરાલ $x \in [-1, 1]$ પર રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતા $C$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module