योगफल sumlimits_{n = 1}^infty {{cot }^{ - 1} | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$.इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:$\cot^{-1} \left( \frac{2 \cdot \frac{n(n+1)

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$\pi$

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(C) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$.इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:$\cot^{-1} \left( \frac{2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 1}{3} ight) = \cot^{-1} \left( \frac{n^2+n-1}{3} ight) = 	an^{-1} \left( \frac{3}{n^2+n-1} ight)$.हम इस पद को $\frac{(n+2)-(n-1)}{1+(n+2)(n-1)} = \frac{3}{1+(n^2+n-2)}$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः,$T_n = 	an^{-1}(n+2) - 	an^{-1}(n-1)$.योगफल $S_N = \sum_{n=1}^N (	an^{-1}(n+2) - 	an^{-1}(n-1))$ है।योगफल का विस्तार करने पर: $S_N = (	an^{-1} 3 - 	an^{-1} 0) + (	an^{-1} 4 - 	an^{-1} 1) + (	an^{-1} 5 - 	an^{-1} 2) + \dots + (	an^{-1}(N+2) - 	an^{-1}(N-1))$.अधिकांश पद कट जाते हैं,और शेष बचता है $S_N = 	an^{-1}(N+2) + 	an^{-1}(N+1) - 	an^{-1} 1 - 	an^{-1} 0$.जब $N 	o \infty$,तब $S = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

योगफल $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\cot }^{ - 1}} \left( {\frac{{2\left( {\sum\limits_{k = 1}^n k } \right) - 1}}{3}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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