વિકલ સમીકરણ $\cos^2 x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f:[0, \infty) \rightarrow R$ એક સતત વિધેય છે જેથી તમામ $x \in[0, \infty)$ માટે $f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{x-t} f(t) d t$ થાય. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે
$(B)$ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(2,-1)$ માંથી પસાર થાય છે
$(C)$ પ્રદેશ $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi-2}{4}$ છે
$(D)$ પ્રદેશ $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi-1}{4}$ છે

એક વિધેય $y = f(x)$ એ શરત $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ સીમિત છે. જો $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$ હોય,તો:

જો $xdy = y(dx + ydy), y > 0$ અને $y(1) = 1$ હોય,તો $y(-3)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:(-1,1) \rightarrow R$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જે તમામ $x \in (-1,1)$ માટે $(f^{\prime}(x))^4 = 16(f(x))^2$ અને $f(0)=0$ નું પાલન કરે છે. આવા વિધેયોની સંખ્યા કેટલી છે?

વક્ર $y=y(x)$ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y), x > 0, y > 0$ પર અભિલંબનો ઢાળ $\frac{x^{2}}{x y-x^{2} y^{2}-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય,તો $e \cdot y(e)$ ની કિંમત શોધો.