ધારો કે f : R rightarrow R એ f(0)=1 સાથેનું વ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$ અને $f(0)=1$.આપેલ સમીકરણમાં $x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:$f(0+0)=f(0)f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$ અને $f(0)=1$.આપેલ સમીકરણમાં $x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:$f(0+0)=f(0)f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0)f(0)$$f(0)=2f(0)f^{\prime}(0)$$f(0)=1$ હોવાથી,$1=2(1)f^{\prime}(0)$,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$.હવે,મૂળ સમીકરણમાં $y=0$ મૂકતા:$f(x+0)=f(x)f^{\prime}(0)+f^{\prime}(x)f(0)$$f(x)=f(x) \cdot \frac{1}{2} + f^{\prime}(x) \cdot 1$$f^{\prime}(x) = f(x) - \frac{1}{2}f(x) = \frac{1}{2}f(x)$.આ પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે:$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{2} dx$$\ln(f(x)) = \frac{x}{2} + C$.$f(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\ln(1) = 0 + C$ મળે છે,તેથી $C=0$.આમ,$f(x) = e^{x/2}$.છેલ્લે,આપણે $\log _e(f(4))$ ની ગણતરી કરીએ:$f(4) = e^{4/2} = e^2$.$\log _e(f(4)) = \log _e(e^2) = 2$.

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(1)=0$ છે. તો $y(0)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$,$(x \ge 1)$ નો ઉકેલ છે. તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો: $[y(1) = 0]$

$x \frac{dy}{dx} - 2y = x^2 + \sin \left( \frac{1}{x^2} \right)$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ ($x > 0$ માટે) નો ઉકેલ વક્ર હોય અને $y(1) = 1$ હોય,તો $y(\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધો:

જો $y=\sin x+A \cos x$ એ $\frac{dy}{dx}+f(x)y=\sec x$ નો વ્યાપક ઉકેલ હોય,તો વિકલ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module