समीकरण $\left| \begin{matrix} 1+x & 1 & 1 \\ 1 & 1+x & 1 \\ 1 & 1 & 1+x \end{matrix} \right| = 0$ के मूल क्या हैं?

$\lambda$ के उन भिन्न मानों का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण निकाय
$(\lambda-1) x+(3 \lambda+1) y+2 \lambda z=0$
$(\lambda-1) x+(4 \lambda-2) y+(\lambda+3) z=0$
$2 x+(3 \lambda+1) y+3(\lambda-1) z=0$
के अशून्य हल हैं।

$A(k, 1)$,$B(2, 4)$ और $C(1, 1)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $6$ वर्ग इकाई है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $1$,$\log_{10}(4^{x}-2)$ और $\log_{10}(4^{x}+\frac{18}{5})$ एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए समांतर श्रेणी में हैं,तो सारणिक $\left|\begin{array}{ccc} 2(x-\frac{1}{2}) & x-1 & x^{2} \\ 1 & 0 & x \\ x & 1 & 0 \end{array}\right|$ का मान ...... के बराबर है।

तीन अंकों की संख्याएँ $x17$,$3y6$,और $12z$,जहाँ $x, y, z$ $0$ से $9$ तक के पूर्णांक हैं,एक निश्चित स्थिरांक $k$ से विभाज्य हैं। तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} x & 3 & 1 \\ 7 & 6 & z \\ 1 & y & 2 \end{array} \right| + 48$ किससे विभाज्य होना चाहिए?

यदि $a, b, c$ क्रमशः एक समांतर श्रेणी के $5^{\text{th}}, 8^{\text{th}}, 13^{\text{th}}$ पद हैं,तो $\left|\begin{array}{ccc}a & 5 & 1 \\ b & 8 & 1 \\ c & 13 & 1\end{array}\right|=$