z^3+bar{z}=0 के लिए हलों की संख्या क्या है? | vedclass

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Question

(A) दिया गया है,$z^3+\bar{z}=0$. मान लीजिए $z=x+iy$. समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$. घन का विस्तार करने पर: $(x^3 - 3xy^2 + x)

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$5$

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(A) दिया गया है,$z^3+\bar{z}=0$. मान लीजिए $z=x+iy$. समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$. घन का विस्तार करने पर: $(x^3 - 3xy^2 + x) + i(3x^2y - y^3 - y) = 0$. वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर: $1) x(x^2 - 3y^2 + 1) = 0$ $2) y(3x^2 - y^2 - 1) = 0$. स्थिति $1$: यदि $x=0$ है,तो $-y(y^2+1)=0 \Rightarrow y=0$. अतः,$(0,0)$ एक हल है। स्थिति $2$: यदि $y=0$ है,तो $x(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0$. (जो पहले ही मिल चुका है)। स्थिति $3$: यदि $x 
eq 0$ और $y 
eq 0$ है,तो $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ और $3x^2 - y^2 - 1 = 0$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $4x^2 - 4y^2 = 0 \Rightarrow x^2 = y^2$. $y^2 = x^2$ को $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ में रखने पर: $x^2 - 3x^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow 2x^2 = 1$ $\Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. चूंकि $x^2 = y^2$,इसलिए $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. हल $(0,0)$,$(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$,$(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$,$(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$,और $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं। हलों की कुल संख्या $5$ है।

$z^3+\bar{z}=0$ के लिए हलों की संख्या क्या है?

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