z^3+bar{z}=0 માટે ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે? | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે,$z^3+\bar{z}=0$. ધારો કે $z=x+iy$. સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$. ઘનનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^3 - 3xy^2 + x) + i(3x^2y

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે,$z^3+\bar{z}=0$. ધારો કે $z=x+iy$. સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$. ઘનનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^3 - 3xy^2 + x) + i(3x^2y - y^3 - y) = 0$. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $1) x(x^2 - 3y^2 + 1) = 0$ $2) y(3x^2 - y^2 - 1) = 0$. કિસ્સો $1$: જો $x=0$ હોય,તો $-y(y^2+1)=0 \Rightarrow y=0$. તેથી,$(0,0)$ એક ઉકેલ છે. કિસ્સો $2$: જો $y=0$ હોય,તો $x(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0$. (જે પહેલેથી મળી ગયું છે). કિસ્સો $3$: જો $x 
eq 0$ અને $y 
eq 0$ હોય,તો $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ અને $3x^2 - y^2 - 1 = 0$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $4x^2 - 4y^2 = 0 \Rightarrow x^2 = y^2$. $y^2 = x^2$ ને $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ માં મૂકતા: $x^2 - 3x^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow 2x^2 = 1$ $\Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. $x^2 = y^2$ હોવાથી,$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. ઉકેલો $(0,0)$,$(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$,$(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$,$(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$,અને $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે. ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $5$ છે.

$z^3+\bar{z}=0$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

નીચેની પ્રક્રિયામાં મુખ્ય નીપજ કઈ છે?

દ્વિવાર્ષિક વનસ્પતિઓમાં,સામાન્ય રીતે સ્ત્રીકેસરની સંખ્યા કેટલી હોય છે?

જો $z = 3 + 5i$ હોય,તો $z^3 + \bar{z} + 198$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module