{left( {frac{1}{x}} right)^{2{x^2}}} का अधिकत | vedclass

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Question

(B) माना $y = (\frac{1}{x})^{2x^2} = x^{-2x^2}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = -2x^2 \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन

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$\sqrt[e]{e}$

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(B) माना $y = (\frac{1}{x})^{2x^2} = x^{-2x^2}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = -2x^2 \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -4x \ln x - 2x^2 (\frac{1}{x}) = -4x \ln x - 2x = -2x(2 \ln x + 1)$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{dy}{dx} = -2x(2 \ln x + 1) y$ है।क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर। चूँकि $x > 0$ और $y > 0$ है,इसलिए $2 \ln x + 1 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\ln x = -\frac{1}{2}$,अतः $x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$ है।$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ पर फलन अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।मूल व्यंजक में $x = e^{-1/2}$ रखने पर:$y_{max} = (\frac{1}{e^{-1/2}})^{2(e^{-1/2})^2} = (e^{1/2})^{2(e^{-1})} = e^{(1/2) 	imes (2/e)} = e^{1/e} = \sqrt[e]{e}$।

${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{2{x^2}}}$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

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