વક્ર કે જે વિકલ સમીકરણ $(1 + y^2) dx - xy\, dy = 0$ નું સમાધાન કરે છે અને બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેના નાભિઓ (foci) કયા છે?

ધારો કે $f$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$,જ્યાં $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. તો $f''\left(\frac{\pi}{6}\right) + f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

જો $f(x), f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ ધન વિધેયો હોય અને $f(0)=1, f^{\prime}(0)=2$ હોય,તો વિકલ સમીકરણ $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}\right|=0$ નો ઉકેલ શોધો.

જો વિકલ સમીકરણ $(y-x+1) dy - (y+x+2) dx = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ $f(x, y, c) = 0$ હોય,તો $c$ ની કિંમત શોધો જેથી $f(1, 1, c) = 0$ થાય.

એક વિધેય $y = f(x)$ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y = \cos x - \sin x$ નું સમાધાન કરે છે,જેમાં પ્રારંભિક શરત છે કે જ્યારે $x \rightarrow \infty$ થાય ત્યારે $y$ સીમિત (bounded) રહે છે. $y = f(x)$,$y = \cos x$ અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

વક્ર જે વિકલ સમીકરણ $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$ નું સમાધાન કરે છે તે $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને વક્ર $x^2 + 3y^2 = 3$ ને $\theta$ ખૂણે છેદે છે. તો $\frac{2\theta}{\pi} =$