અતિવલય $5x^2 - 4y^2 + 20x + 8y = 4$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

$y = 2x$ ને સમાંતર અતિવલય $3x^2 - 2y^2 + 4x - 6y = 0$ ની જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

ધારો કે $A(-1, 0)$ અને $B(2, 0)$ બે બિંદુઓ છે. એક બિંદુ $M$ સમતલમાં એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $\angle MBA = 2 \angle MAB$ થાય. તો,બિંદુ $M$ કયા પથ પર ગતિ કરે છે?

ધારો કે અતિવલય (hyperbola) ના નાભિઓ ઉપવલય (ellipse) $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ ના નાભિઓ સાથે સંપાતી છે. જો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $5$ હોય,તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો:

અતિવલય $9x^2 - 16y^2 = 144$ પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરનો તફાવત કેટલો થાય?

ધારો કે $a$ અને $b$ એવા ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી $a > 1$ અને $b < a$ થાય. ધારો કે $P$ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું બિંદુ છે જે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર છે. ધારો કે $P$ આગળનો સ્પર્શક બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,અને ધારો કે $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે છે. ધારો કે $\Delta$ એ $P$ આગળના સ્પર્શક,$P$ આગળના અભિલંબ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. જો $e$ એ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા દર્શાવે,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$
$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$
$(C)$ $\Delta = a^4$
$(D)$ $\Delta = b^4$