ધારો કે લક્ષ L = lim_{n rightarrow infty} sqr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણે લક્ષ $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ ની ગણતરી કરીએ. $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$ આદેશ લેતા,$dx = \frac

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2} < L < 2$

Vedclass · Answer

(A) આપણે લક્ષ $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ ની ગણતરી કરીએ. $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$ આદેશ લેતા,$dx = \frac{dt}{\sqrt{n}}$ મળે. જ્યારે $n \rightarrow \infty$,ત્યારે સંકલન $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^{\sqrt{n}} \frac{1}{(1 + t^2/n)^n} \cdot \frac{dt}{\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\sqrt{n}} (1 + t^2/n)^{-n} dt$ બને છે. ઘાતાંકીય વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + t^2/n)^{-n} = e^{-t^2}$. તેથી,$L = \int_0^{\infty} e^{-t^2} dt$. આપણે જાણીએ છીએ કે ગાઉસિયન સંકલન $\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ છે. $\pi \approx 3.14159$ હોવાથી,$\sqrt{\pi} \approx 1.772$. તેથી,$L = \frac{1.772}{2} = 0.886$. $0.5 < 0.886 < 2$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $\frac{1}{2} < L < 2$ છે.

ધારો કે લક્ષ $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે $\frac{1}{2}$ કરતા મોટું છે. તો,

Similar Questions

$\int_0^1 \tan^{-1}(1-x+x^2) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $f(x) = f(2 - x)$ હોય,તો $\int_{0.5}^{1.5} xf(x) dx$ ની કિંમત શું થાય?

જો $f(x) = \cos(\tan^{-1}x)$ હોય,તો સંકલન $\int_{0}^{1} x f''(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

એવા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ ની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી તમામ $x \in (0,1]$ માટે $f(x) < x^2$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}$ થાય?

$\int_{0}^{\pi} e^{\sin^2 x} \cos^3 x \, dx$ ની કિંમત કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module