ગ્રહોની ગતિ માટે કેપ્લરનો ક્ષેત્રફળનો નિયમ (બીજો નિયમ) લખો અને સાબિત કરો.

"કોઈપણ ગ્રહ અને સૂર્યને જોડ્તી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે" જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

સૂર્ય $S$ ની આસપાસ $P$ ગ્રહ દીર્ધવૃત્તિય કક્ષામાં ગતિ કરે છે. છાયાંકિત ક્ષેત્રફળ એ નાના સમયગાળ $\Delta t$ માં આંતરાંતુ ક્ષેત્રફળ $\triangle A$ છે.

આ નિયમ એવાં અવલોકનો પરથી મળેલો છે કે જ્યારે ગ્રહો સૂર્યથી દૂર હોય ત્યારે તે નજીક હતા તેના કરતાં ધીમા ફરતા જણાય છે. ક્ષેત્રફળોનો નિયમ કોઈપણ કેન્દ્રિય બળ માટે સાયો છે. તે કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના અગત્યના પરિણામ તરીકે સમજી શકાય છે.

ગ્રહ પર લાગતા બળની કાર્યરેખા, સૂર્યમાંથી પસાર થતી હોવાથી કોઈપણ ગ્રહનું ટોર્ક $\tau = r \,\,\,F \sin \pi=0$ થાય માટે કોઈપણ ગ્રહનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.

સૂર્યને ઉદગમ તરીકે લઈને ગ્રહનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગમાન $\vec{p}$ છે. $m$ દળનો ગ્રહ $\Delta t$ સમયમાં $\Delta A$ જેટલું ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.

આકૃતિ પરથી કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta SPP ^{\prime}$ નું ક્ષેત્રફળ

$\Delta A =\frac{1}{2} \times$ પાયો $\times$ વેધ

$\Delta A =\frac{1}{2}(\vec{r} \times \vec{v} \Delta t)$$...................(1)$

સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુ $\Delta t$ વડે ભાગતાં,

$\frac{\Delta \vec{A}}{\Delta t}=\frac{1}{2}(\vec{r} \times \vec{v})$

પરંતુ ગ્રહનું વેગમાન $\vec{p}=m \vec{v}$

$\therefore \vec{v}=\frac{\vec{p}}{m}$ લેતાં,