सिद्ध कीजिए
$\sin 3 x+\sin 2 x-\sin x=4 \sin x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2}$
सिद्ध कीजिए
$\sin 3 x+\sin 2 x-\sin x=4 \sin x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2}$
$L.H.S.$ $=\sin 3 x+\sin 2 x-\sin x$
$=\sin 3 x+\left[2 \cos \left(\frac{2 x+x}{2}\right) \sin \left(\frac{2 x-x}{2}\right)\right]$
$\left[\sin A-\sin B=2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\right]$
$=\sin 3 x+\left[2 \cos \left(\frac{3 x}{2}\right) \sin \left(\frac{x}{2}\right)\right]$
$=\sin 3 x+2 \cos \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}$
$=2 \sin \frac{3 x}{2} \cdot \cos \frac{3 x}{2}+2 \cos \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}$$\quad[\sin 2 A=2 \sin A \cdot \cos B]$
$=2 \cos \left(\frac{3 x}{2}\right)\left[\sin \left(\frac{3 x}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right]$
$=2 \cos \left(\frac{3 x}{2}\right)\left[2 \sin \left\{\frac{\left(\frac{3 x}{2}\right)+\left(\frac{x}{2}\right)}{2}\right\} \cos \left\{\frac{\left(\frac{3 x}{2}\right)-\left(\frac{x}{2}\right)}{2}\right\}\right]$
$\left[\sin A+\sin B=2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)\right]$
$=2 \cos \left(\frac{3 x}{2}\right) \cdot 2 \sin x \cos \left(\frac{x}{2}\right)$
$=4 \sin x \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2}\right)= R. H.S.$
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निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ तथा $\tan \frac{x}{2},$ ज्ञात कीजिए
$\cos x=-\frac{1}{3}, x$ तृतीय चतुर्थांश में है।
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यदि $\tan x=\frac{3}{4}, \pi< x< \frac{3 \pi}{2},$ तो $\sin _{2}^{x}, \cos _{2}^{x}$ तथा $\tan _{2}^{x}$ के मान ज्ञात कीजिए।
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यदि $\tan \theta + \sin \theta = m$ तथा $\tan \theta - \sin \theta = n,$ तो
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- [IIT 1970]
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए
$\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)=-\sqrt{2} \sin x$
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यदि $\cot x=-\frac{5}{12}$ हो और $x$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित हैं, तो अन्य पाँच त्रिकोणमितीय फलनों को ज्ञात कीजिए।
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