सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

(N/A) मान लीजिए कि दो समरूप त्रिभुज $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ हैं। मान लीजिए $AD$ और $PS$ इन त्रिभुजों की माध्यिकाएँ हैं।
चूँकि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,इसलिए:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} \quad ...(1)$
और $\angle B = \angle Q \quad ...(2)$
चूँकि $AD$ और $PS$ माध्यिकाएँ हैं,$D$ और $S$ क्रमशः $BC$ और $QR$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$BD = \frac{BC}{2}$ और $QS = \frac{QR}{2}$.
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QS} = \frac{BD}{QS} \quad ...(3)$
$\triangle ABD$ और $\triangle PQS$ में:
$\angle B = \angle Q$ [समीकरण $(2)$ से]
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QS}$ [समीकरण $(3)$ से]
इसलिए,$SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle ABD \sim \triangle PQS$.
इसका अर्थ है कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PS} \quad ...(4)$
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:
$\frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2$
समीकरण $(4)$ से,$\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PS}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AD}{PS}\right)^2$
इति सिद्धम्।