સાબિત કરો કે $3 \sin ^{-1} x = \sin ^{-1}(3 x - 4 x^{3})$,જ્યાં $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

(N/A) $3 \sin ^{-1} x = \sin ^{-1}(3 x - 4 x^{3})$ સાબિત કરવા માટે,જ્યાં $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
ધારો કે $x = \sin \theta$. તો,$\theta = \sin ^{-1} x$.
અહીં $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ હોવાથી,$\sin \theta \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$,જેનો અર્થ છે કે $\theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ મળે છે.
હવે,જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) ધ્યાનમાં લો:
$\sin ^{-1}(3 x - 4 x^{3}) = \sin ^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin ^{3} \theta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin ^{3} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin ^{-1}(\sin 3 \theta)$
કારણ કે $3\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,આપણે ગુણધર્મ $\sin ^{-1}(\sin \alpha) = \alpha$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,જ્યાં $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$= 3 \theta$
$= 3 \sin ^{-1} x = \text{ડાબી બાજુ (L.H.S.)}$
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.