જ્યારે ત્રણ પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે ત્યારે મળતા પરિણામોનો ગુણાકાર $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના કેટલી થાય?

ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 40\}$ માંથી ત્રણ ભિન્ન સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ વધતા $G.P.$ માં હોય તેની સંભાવના $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$,તો $m + n$ ની કિંમત . . . . . . છે.

ધારો કે $|X|$ એ ગણ $X$ માંના ઘટકોની સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ એક નિદર્શાવકાશ છે,જ્યાં દરેક ઘટક સમાન રીતે સંભવિત છે. જો $A$ અને $B$ એ $S$ સાથે સંકળાયેલ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(A, B)$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી $1 \leq |B| < |A|$ થાય.

ધારો કે $S$ એ યાદચ્છિક પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ છે અને $P$ એ $S$ ના ઘાતગણ પર વ્યાખ્યાયિત સંભાવના વિધેય છે. યાદચ્છિક પ્રયોગની બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ ને નિરપેક્ષ કહેવાય જો

ધારો કે $A$ એ તમામ $4$-અંકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે જેમાં બરાબર એક અંક $7$ છે. તો $A$ માંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલી સંખ્યાને $5$ વડે ભાગતા શેષ $2$ વધે તેની સંભાવના ..... છે.

એક રમતમાં,બે ખેલાડીઓ $A$ અને $B$ વારાફરતી પાસાની જોડી ફેંકે છે,જેની શરૂઆત ખેલાડી $A$ કરે છે. દરેક ફેંકમાં બંને પાસા પરના કુલ અંક નોંધવામાં આવે છે. જો $A$,$B$ ના $7$ ના કુલ સરવાળા પહેલા $6$ નો કુલ સરવાળો મેળવે તો $A$ જીતે છે,અને જો $B$,$A$ ના $6$ ના કુલ સરવાળા પહેલા $7$ નો કુલ સરવાળો મેળવે તો $B$ જીતે છે. જેવો કોઈ પણ ખેલાડી જીતે કે તરત જ રમત અટકી જાય છે. $A$ ના જીતવાની સંભાવના કેટલી છે?