જ્યારે ત્રણ પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે ત્યારે મળતા પરિણામોનો ગુણાકાર $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના કેટલી થાય?

$A$ અને $B$ વારાફરતી પાસો ફેંકે છે જ્યાં સુધી તેમનામાંથી કોઈ એક '$6$' મેળવે અને રમત જીતે. જો $A$ પ્રથમ શરૂઆત કરે,તો તેમની જીતવાની સંભાવના શોધો.

ધારો કે $a, b$ અને $c$ એ એક સમબાજુ ચતુષ્ફલકીય પાસાના ત્રણ સ્વતંત્ર ફેંકના પરિણામો દર્શાવે છે,જેના ચાર ફલક પર $1, 2, 3, 4$ અંકિત છે. જો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તેની સંભાવના $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$,તો $m + n$ ની કિંમત .......... થાય.

ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $E_1, E_2$ અને $E_3$ માટે,માત્ર $E_1$ બને તેની સંભાવના $\alpha$ છે,માત્ર $E_2$ બને તેની સંભાવના $\beta$ છે અને માત્ર $E_3$ બને તેની સંભાવના $\gamma$ છે. ધારો કે $E_1, E_2$ અથવા $E_3$ માંથી કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $p$ એ સમીકરણો $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ અને $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ નું સમાધાન કરે છે. બધી આપેલી સંભાવનાઓ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે તેમ માની લો. તો $\frac{\text{Probability of occurrence of } E_1}{\text{Probability of occurrence of } E_3} = $

$S$ એ નિદર્શાવકાશ છે અને $A, B$ એ યાદચ્છિક પ્રયોગની બે ઘટનાઓ છે. યાદી-$A$ ની વસ્તુઓને યાદી-$B$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.

યાદી-$A$	યાદી-$B$
$(I)$ $A, B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે	$(i)$ $P(A \cap B) = P(B) - P(\bar{A})$
$(II)$ $A, B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે	$(ii)$ $P(A) \leq P(B)$
$(III)$ $A \cap B = A$	$(iii)$ $P(\frac{\bar{A}}{B}) = 1 - P(A)$
$(IV)$ $A \cup B = S$	$(iv)$ $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
	$(v)$ $P(A) + P(B) = 2$

ધારો કે એક કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ બાઈનરી નંબરોની સ્ટ્રિંગ બનાવવા માટે માત્ર $0$ અને $1$ અંકો જનરેટ કરે છે. બેકી સ્થાનો પર $0$ આવવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે અને એકી સ્થાનો પર $0$ આવવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે. તો $'10'$ પછી $'01'$ આવે તેની સંભાવના કેટલી થાય?