$(i)$ રેખા, $(ii)$ પૃષ્ઠ, $(iii)$ કદ  પરના વિધુતભારના સતત વિતરણના લીધે કોઈ પણ બિંદુ પાસે ઉદભવતાં વિધુતક્ષેત્રનું સુત્ર મેળવો.

 

$(i)$ રેખા

ધારોકે, રેખાને $d l$ જેટલી સૂક્ષ્મ લંબાઈના ખંડોમાં વિભાગેલો કલ્પીએ અને તેના પરનો કોઈ એક ખંડનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ છે રેખા પર રેખીય વિદ્યુતભારની ધનતા $\lambda$ છે તેથી ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $\lambda d l$ છે.

વિદ્યુતભાર વિતરણની અંદર કે બહાર કોઈ એક બિંદુ $P$ લો કે જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{R}$ છે.

$\Delta l$ ખંડથી $P$ બિંદુનું અંતર $r^{\prime}$ છે અને $\Delta l$ થી $P$ બિંદુ તરફનો એક્મ સદિશ $\hat r$ છે.

$\lambda \Delta l$ વિદ્યુતભારને લીધે $P$ પાસે કુલંબના નિયમથી વિદ્યુતક્ષેત્ર,

$\overrightarrow{\Delta E }=\frac{k \lambda \Delta l}{\left(r^{\prime}\right)^{2}} \cdot \hat{r}^{\prime}$

સંપાતપણોના સિદ્ધાંત પરથી વિદ્યુતભાર વિતરણના લીધે $P$ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,

$\overrightarrow{ E }=\sum_{\Delta l} \frac{k \lambda \Delta l}{\left(r^{\prime}\right)^{2}} \cdot \hat{r}^{\prime}$

આ સરવાળાને સંકલન સ્વરૂપે લખતાં,

$\overrightarrow{ E }=\int_{l} \frac{k \lambda d l}{\left(r^{\prime}\right)^{2}} \hat{r}^{\prime}$

 $(ii)$ પૃષ્ઠ

ધારોકે, પૃષ્ઠને $\Delta S$ જેટલા સૂક્ષ્મ ક્ષેત્રફળના પૃષ્ઠખંડોમાં વિભાગેલો કલ્પો અને તેના પરના કોઈ એક પૃષ્ઠખંડનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ છે.

પૃષ્ઠ પર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભારની ધનતા $\sigma$ છે તેથી $\Delta S$ પૃષ્ઠખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $=\sigma \Delta S$ છે.

પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર વિતરણની અંદર કે બહાર કોઈ એક બિંદુ લો કે જેનો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{ R }$ છે અને રેખા પરના $\Delta S$ ખંડથી $P$ નું અંતર $r$ ' છે અને તે પૃષ્ઠ ખંડ $\Delta S$ થી $P$ તરફનો એકમ સદિશ $\hat{r}^{\prime}$ છે.

$\sigma$ $\Delta S$ વિદ્યુતભારના લીધે $P$ પાસે કુલંબના નિયમની મદદથી વિદ્યુતક્ષેત્ર,

$\overrightarrow{\Delta E }=\frac{k \sigma \Delta S }{\left(r^{\prime}\right)^{2}} \cdot \hat{r}^{\prime}$

સંપાતપણાના સિદ્ધાંત પરથી વિદ્યુતભાર વિતરણના લીધે પાસે $P$ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર,

$\overrightarrow{ E }=\sum_{ S } \frac{k \sigma \Delta S }{\left(r^{\prime}\right)^{2}} \hat{r}^{\prime}$

આ સરવાળને સંકલનની રીતે લખતાં,

$\overrightarrow{ E }=\int_{ S } \frac{k \sigma \Delta S }{\left(r^{\prime}\right)^{2}} \hat{r}^{\prime}$

$(iii)$ કદ 

ધારો કે, અવકાશમાં સતત વિદ્યુતભાર વિતરણાની વિદ્યુતભાર ધનતા $\rho$ છે. વિદ્યુતભાર વિતરણને $\Delta V$ માપનના નાના કદ ખંડોમાં વિભાજિત કરો.

ઊગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે વિદ્યુતભાર વિતરણમાં કોઈ એક કદ ખંડનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ છે. તેથી આ કદ ખંડમાં રહેલો વિદ્યુતભાર $=\rho \Delta V$.

વિદ્યુતભાર વિતરણની અંદર કે બહાર કોઈ એક બિંદુ $P$ લો. કે જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{R}$ છે. $\rho \Delta V$ વિદ્યુતભારને લીધે $P$ પાસે કુલંબના નિયમ પરથી વિદ્યુતક્ષેત્ર,

$\overrightarrow{\Delta E }=\frac{k \rho \Delta V }{\left(r^{\prime}\right)^{2}} \cdot \hat{r}^{\prime}$

જ્યાં $r^{\prime}$ એ વિદ્યુતભાર કદ ખંડ અને $P$ વચ્ચેનું અંતર છે તથા તે કદ ખંડથી $P$ તરફનો એકમ સદિશ પણ છે. સંપાતપણાના સિદ્ધાંત પરથી વિદ્યુતભાર વિતરણને લીધે $P$ પાસે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર,

$\overrightarrow{ E }=\sum \frac{k \rho \Delta V }{\left(r^{\prime}\right)^{2}} \cdot \hat{r}^{\prime}$

આ સરવાળાને સંકલનથી દર્શાવતાં,

$\overrightarrow{ E }=\int_{ V } \frac{k \rho \Delta V }{\left(r^{\prime}\right)^{2}} \hat{r}^{\prime}$

આમ,કુલંબનો નિયમ અને સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત વાપરીને અલગ અલગ અથવા સતત અથવા અંશત: અલગ અને અંશત: સતત એવા કોઈ પણ વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર મેળવી શકાય છે.