${\left( {{3^{\frac{1}{8}}} + {5^{\frac{1}{3}}}} \right)^{400}}$ ના વિસ્તરણમાં સંમેય પદોની સંખ્યા મેળવો 

જો ${(2 + a)^{{\rm{50 }}}}$ નું $17$ મું અને $18$ મું પદ સમાન હોય, તો $a$ શોધો.

ધારોકે $\left(x^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{x^3}\right)^{30}$ના વિસ્તરણમાં $x^{-\alpha}$ વાળો પદ હોય તેવો $\alpha > 0$ નાનામાં નાની સંખ્યા $\beta x^{-\alpha}, \beta \in N$ છે. તો $\alpha$ ની  કિમંત મેળવો.

જો $(1 + x)^{18}$ ના વિસ્તરણમાં $(2r + 4)th$ પદનો શુન્યેતર સહગુણક એ $(r - 2)th$ પદના શુન્યેતર સહગુણક કરતાં વધારે હોય તો $r$ ની શક્ય એવી કેટલી પૂર્ણાક કિમતો મળે? 

$(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1})^{6}+(\mathrm{x}-\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1})^{6}$ ના વિસ્તરણમાં  $x^{4}$ અને $x^{2}$ ના સહગુણકો $\alpha$ અને $\beta$ હોય તો  . . . .  

$\left(x \sin \alpha+a \frac{\cos \alpha}{x}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં જો અચળ પદ  $\frac{10 !}{(5 !)^{2}}$ હોય તો $' a^{\prime}$ ની  કિમંત મેળવો.