બે ઉપવલયો ${E_1}:\,\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1$ અને ${E_2}:\,\frac{{{x^2}}}{16} + \frac{{{y^2}}}{b^2} = 1$ છે જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $\frac {1}{2}$ થાય તો ઉપવલય $E_2$ ની ગૌણઅક્ષની લંબાઈ મેળવો. 

અહી ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$ બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને ઉત્કેન્દ્રિતા $\frac{1}{\sqrt{3}} $ આપેલ છે . જો વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ઉપવલય $E$ ની નાભી $\mathrm{F}(\alpha, 0), \alpha>0$ હોય અને ત્રિજ્યા $\frac{2}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે . વર્તુળએ  ઉપવલય $\mathrm{E}$ ને  બે બિંદુઓ $\mathrm{P}$ અને $\mathrm{Q}$ માં છેદે છે તો  $\mathrm{PQ}^{2}$  ની કિમંત મેળવો.

એક ગુપ્રમાં $100$ વ્યક્તિ છે કે જે પૈકી $75$ અંગ્રેજી બોલો છે અને $40$ હિન્દી બોલે છે. દરેક વ્યક્તિ બે પૈકી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલે છે. જો માત્ર અંગ્રેજી ભાષા બોલતા વ્યકિત $\alpha$ હોય અને માત્ર હિન્દી બોલતા વ્યક્તિ $\beta$ હોય તો ઉપવલય  $25\left(\beta^2 x^2+\alpha^2 y^2\right)=\alpha^2 \beta^2$ ની ઉત્કેન્દૃતા  $.......$ થાય.

બિંદુ $P(3, 4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{9}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{4}\,\, = \,\,1$ પર દોરેલા સ્પર્શકો ઉપવલયને બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શક છે. જે બિંદુનું બિંદુ $P$ થી અને રેખા $AB$ થી અંતર સમાન હોય, તે બિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ.....

જે વકો $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}$ અને $\frac{x^{2}}{c}+\frac{y^{2}}{d}=1$ એકબીજને $90^{\circ}$ નાં ખૂણે છેદતા હોય, તો નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સત્ય છે ?