मान लीजिए f(x) एक ऐसा फलन है जो f'(x) = f(x) | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f'(x) = f(x)$,इसलिए $f(x) = Ce^x$। चूंकि $f(0) = 1$,हमें $C = 1$ प्राप्त होता है,अतः $f(x) = e^x$।दिया गया है $f(x) + g(x) = x^2$,इसल

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$e - \frac{1}{2}e^2 - \frac{3}{2}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f'(x) = f(x)$,इसलिए $f(x) = Ce^x$। चूंकि $f(0) = 1$,हमें $C = 1$ प्राप्त होता है,अतः $f(x) = e^x$।दिया गया है $f(x) + g(x) = x^2$,इसलिए $g(x) = x^2 - e^x$।हमें $I = \int_{0}^{1} f(x)g(x) \, dx = \int_{0}^{1} e^x(x^2 - e^x) \, dx = \int_{0}^{1} (x^2e^x - e^{2x}) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।$\int x^2e^x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:$\int x^2e^x \, dx = x^2e^x - \int 2xe^x \, dx = x^2e^x - 2(xe^x - e^x) = e^x(x^2 - 2x + 2)$।निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$I = [e^x(x^2 - 2x + 2)]_{0}^{1} - [\frac{e^{2x}}{2}]_{0}^{1}$$I = (e(1 - 2 + 2) - e^0(0 - 0 + 2)) - \frac{1}{2}(e^2 - 1)$$I = (e - 2) - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2} = e - \frac{1}{2}e^2 - \frac{3}{2}$।

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यदि $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ और $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ है,तो $I_1 : I_2$ क्या है?

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एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

यदि $f(x)$ और $g(x)$ एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन (inverse functions) हैं,जहाँ $f(1) = 3$ और $f(3) = 1$ है,तो $\int_{1}^{3} \left( g(x) + \frac{x}{f'(g(x))} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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