यदि x({x^4} + 1)phi (x) = 1, है,तो int_1^2 {p | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $x({x^4} + 1)\phi (x) = 1,$ अतः $\phi (x) = \frac{1}{{x({x^4} + 1)}}.$ हम $\phi (x)$ को आंशिक भिन्नों का उपयोग करके इस प्रकार लिख सकते

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$\frac{1}{4}\log \frac{{32}}{{17}}$

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(A) दिया गया है $x({x^4} + 1)\phi (x) = 1,$ अतः $\phi (x) = \frac{1}{{x({x^4} + 1)}}.$ हम $\phi (x)$ को आंशिक भिन्नों का उपयोग करके इस प्रकार लिख सकते हैं: $\phi (x) = \frac{1}{x} - \frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}.$ अब,हम $1$ से $2$ तक $\phi (x)$ का समाकलन करते हैं: $\int_1^2 {\phi (x)\,dx = \int_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}} \right)\,dx} }.$ $= \left[ \log |x| \right]_1^2 - \int_1^2 {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}\,dx}.$ मान लीजिए $u = {x^4} + 1,$ तो $du = 4{x^3}\,dx,$ इसलिए ${x^3}\,dx = \frac{1}{4}du.$ जब $x = 1, u = 2.$ जब $x = 2, u = 17.$ $= (\log 2 - \log 1) - \frac{1}{4} \int_2^{17} {\frac{1}{u}\,du} = \log 2 - \frac{1}{4} \left[ \log u \right]_2^{17}.$ $= \log 2 - \frac{1}{4} (\log 17 - \log 2) = \log 2 - \frac{1}{4} \log 17 + \frac{1}{4} \log 2.$ $= \frac{5}{4} \log 2 - \frac{1}{4} \log 17 = \frac{1}{4} (5 \log 2 - \log 17) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{2^5}{17} \right) = \frac{1}{4} \log \frac{32}{17}.$ अतः,सही विकल्प $A$ है।

यदि $x({x^4} + 1)\phi (x) = 1,$ है,तो $\int_1^2 {\phi (x)\,dx = } $

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$\int_{2}^{4} (|x - 2| + |x - 3|) dx =$

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sin x}, & x \in (0, 1) \\ 1, & x = 0 \end{cases}$. समाकल $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$ पर विचार करें। तब,$\lim_{n \to \infty} I_n$ है:

$\int_0^1 {(1 - x)^9} dx = $

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$\int_{0}^{1} \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) dx =$

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