ધારો કે x in (0, 1) માટે f(x) = sin x + (x^3 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$.નોંધો કે $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)^3 + (x-1)$.તેથી,$f(x) = \sin x + ((x-1)^3 + (x-1)) \c

Vedclass · Accepted Answer

$I$ અને $II$ સાચા છે

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$.નોંધો કે $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)^3 + (x-1)$.તેથી,$f(x) = \sin x + ((x-1)^3 + (x-1)) \cos x$.વિકલન કરતા:$f'(x) = \cos x + [3(x-1)^2 + 1] \cos x - [(x-1)^3 + (x-1)] \sin x$$f'(x) = \cos x [3(x-1)^2 + 2] + (1-x)((x-1)^2 + 1) \sin x$.$x \in (0, 1)$ માટે,$\cos x > 0$,$\sin x > 0$,$(1-x) > 0$,અને કૌંસમાં રહેલા પદો ધન છે.આમ,$f'(x) > 0$ દરેક $x \in (0, 1)$ માટે,જેનો અર્થ છે કે $f$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય (monotone) છે.વધુમાં,$f(0) = -2  0$.વિધેય $f$ સતત હોવાથી અને $(0, 1)$ માં ચિહ્ન બદલાતું હોવાથી,Intermediate Value Theorem મુજબ,$f$ ને $(0, 1)$ માં એક શૂન્ય છે.તેથી,વિધાન $I$ અને $II$ બંને સાચા છે.

List-$I$	List-$II$
$(P)$ વિધેય $f(x)=\left[\frac{10 x^3-45 x^2+60 x+35}{n}\right]$ અંતરાલ $[1,2]$ પર સતત હોય તે માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત	$(1)$ $8$
$(Q)$ વિધેય $g(x)=\left(2 n^2-13 n-15\right)\left(x^3+3 x\right), x \in R$ એ $R$ પર વધતું વિધેય હોય તે માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત	$(2)$ $9$
$(R)$ $5$ થી મોટી એવી સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ કે જેના માટે $x=3$ એ $h(x)=\left(x^2-9\right)^{n}\left(x^2+2 x+3\right)$ નું સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ હોય	$(3)$ $5$
$(S)$ $x_0 \in R$ ની સંખ્યા કે જેના માટે $l(x)=\sum_{k=0}^4\left(\sin \|x-k\|+\cos \left\|x-k+\frac{1}{2}\right\|\right), x \in R$ એ $x_0$ પર વિકલનીય ન હોય	$(4)$ $6$
	$(5)$ $10$

Similar Questions

જો $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$ હોય,તો ગણ $\{(x, f(x)) \mid f^{\prime}(x)=0\}$ ના તમામ બિંદુઓ શેના પર આવેલા છે?

ધારો કે $f(x) = 2x + \tan^{-1} x$ અને $g(x) = \log_e(\sqrt{1+x^2} + x)$,$x \in [0, 3]$. તો:

$f(x)=4 \log _{e}(x-1)-2 x^{2}+4 x+5, x>1$,નીચેનામાંથી કયું સાચું નથી?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module