જો $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$ હોય,તો ગણ $\{(x, f(x)) \mid f^{\prime}(x)=0\}$ ના તમામ બિંદુઓ શેના પર આવેલા છે?

ધારો કે $f(x)=2^x-x^2, x \in R$. જો $m$ અને $n$ એ અનુક્રમે $y=f(x)$ અને $y=f^{\prime}(x)$ વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓની સંખ્યા હોય,તો $m+n$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$ કોઈ $c > 0$ માટે,તો સાબિત કરો કે $\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}$ એ $a$ અને $b$ થી સ્વતંત્ર અચળ છે.

જો $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$ એ તમામ $x \in(0, \infty)$ માટે હોય,તો
$(A)$ $f$ ને $x=2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે
$(B)$ $f$ એ $(2,3)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ કોઈ એવું $c \in(0, \infty)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime \prime}(c)=0$ થાય
$(D)$ $f$ ને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે

વિધેય $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$ એવું છે કે $f(2) = f(4) = 0$. બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો.
$(S_1)$ એવા $x_{1}, x_{2} \in (2, 4)$,$x_{1} < x_{2}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ અને $f^{\prime}(x_{2}) = 0$ થાય.
$(S_2)$ એવા $x_{3}, x_{4} \in (2, 4)$,$x_{3} < x_{4}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f$ એ $(2, x_{4})$ માં ઘટતું વિધેય છે,$(x_{4}, 4)$ માં વધતું વિધેય છે અને $2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4})$ થાય.
તો

ધારો કે $f(x) = \min (\{x\}, \{e^{-x}\})$ જ્યાં $x \in [0, 10]$. જો $C$ અને $D$ એવા બિંદુઓની સંખ્યા છે જ્યાં $f(x)$ અનુક્રમે અસતત અને વિકલનીય નથી,તો $(C + D)$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે).