माना f(x) = frac{x}{sqrt{a^2 + x^2}} - frac{d | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$.फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकल

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$f$,$x$ का एक वर्धमान फलन है

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(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$.फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।भागफल नियम या श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = x$ और $v = \sqrt{a^2 + x^2}$। तब $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}$.इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए,मान लीजिए $g(x) = \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$। पद के आगे ऋणात्मक चिह्न होने के कारण,इसका अवकलज $\frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$ प्राप्त होता है।अतः,$f'(x) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.यहाँ $a^2, b^2 > 0$ है और हर हमेशा धनात्मक है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।अतः,$f$,$x$ का एक वर्धमान फलन है।

माना $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$,$x \in R$,जहाँ $a, b$ और $d$ शून्येतर वास्तविक स्थिरांक हैं। तो:

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मान लीजिए $\phi(x) = f(x) + f(2a - x)$,$x \in [0, 2a]$ और सभी $x \in [0, a]$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$ है। तो $\phi(x)$ है

माना $f(x) = \begin{cases} x e^{3x}, & x \le 0 \\ 2x^3 + x, & x > 0 \end{cases}$ है। $x$ के उन सभी मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f'(x)$ एक वर्धमान फलन है।

फलन $f(x)=4 \sin ^3 x-6 \sin ^2 x+12 \sin x+100$ निरंतर

अंतराल $(7, \infty)$ में,फलन $f(x) = |x-5| + 2|x-7|$ है:

फलन $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+29$ किस अंतराल में एकदिष्ट वर्धमान है?

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