मान लीजिए F: R rightarrow R एक तीन बार अवकलनी | vedclass

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Question

(A-D) $1.$ दिया है कि $f(x) = x F(x)$,इसलिए $f^{\prime}(x) = F(x) + x F^{\prime}(x)$।
$x=1$ पर,$f^{\prime}(1) = F(1) + 1 \cdot F^{\prime}(1) = 0 + F^

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$(ABC, CD)$

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(A-D) $1.$ दिया है कि $f(x) = x F(x)$,इसलिए $f^{\prime}(x) = F(x) + x F^{\prime}(x)$।
$x=1$ पर,$f^{\prime}(1) = F(1) + 1 \cdot F^{\prime}(1) = 0 + F^{\prime}(1) = F^{\prime}(1)$। चूँकि $F^{\prime}(x) < 0$,इसलिए $f^{\prime}(1) < 0$। अतः $(A)$ सही है।
$(B)$ के लिए,$f(2) = 2 F(2)$। चूँकि $F(1)=0$ और $(1/2, 3)$ पर $F^{\prime}(x) < 0$ है,इसलिए $F(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है। अतः $F(2) < F(1) = 0$,इसलिए $f(2) < 0$। अतः $(B)$ सही है।
$(C)$ और $(D)$ के लिए,$f^{\prime}(x) = F(x) + x F^{\prime}(x)$। चूँकि $x \in (1, 3)$ के लिए $F(x) < 0$ और $F^{\prime}(x) < 0$ है,इसलिए सभी $x \in (1, 3)$ के लिए $f^{\prime}(x) < 0$। अतः $f^{\prime}(x) 
eq 0$। अतः $(C)$ सही है।
$1$ के लिए सही विकल्प: $(A, B, C)$।
$2.$ $\int_1^3 f(x) dx = \int_1^3 x F(x) dx$। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\left[ \frac{x^2}{2} F(x) ight]_1^3 - \int_1^3 \frac{x^2}{2} F^{\prime}(x) dx = \frac{9}{2}(-4) - 0 - \frac{1}{2}(-12) = -18 + 6 = -12$। अतः $(D)$ सही है।
$(A)$ और $(C)$ के लिए,$\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = [x^3 F^{\prime}(x)]_1^3 - 3 \int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = 27 F^{\prime}(3) - F^{\prime}(1) - 3(-12) = 40$।
$27 F^{\prime}(3) - F^{\prime}(1) + 36 = 40 \Rightarrow 27 F^{\prime}(3) - F^{\prime}(1) = 4$।
चूँकि $f^{\prime}(x) = F(x) + x F^{\prime}(x)$,$f^{\prime}(3) = F(3) + 3 F^{\prime}(3) = -4 + 3 F^{\prime}(3)$ और $f^{\prime}(1) = F(1) + F^{\prime}(1) = F^{\prime}(1)$।
$9 f^{\prime}(3) - f^{\prime}(1) = 9(-4 + 3 F^{\prime}(3)) - F^{\prime}(1) = -36 + 27 F^{\prime}(3) - F^{\prime}(1) = -36 + 4 = -32$।
इसलिए $9 f^{\prime}(3) - f^{\prime}(1) + 32 = 0$। अतः $(C)$ सही है।
$2$ के लिए सही विकल्प: $(C, D)$।

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