अंतराल $[0, 1]$ में,लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) निम्नलिखित में से किस फलन के लिए लागू नहीं होता है?

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f$,$(a, b)$ में अवकलनीय है,$x=a$ और $x=b$ पर सतत है,और $f(a)=0=f(b)$ है। तो:

मान लीजिए कि फलन $f:[-7,0] \rightarrow R$,$[-7,0]$ पर संतत है और $(-7,0)$ पर अवकलनीय है। यदि $f(-7)=-3$ और सभी $x \in (-7,0)$ के लिए $f'(x) \leq 2$ है,तो ऐसे सभी फलनों $f$ के लिए,$f(-1)+f(0)$ किस अंतराल में स्थित है?

अंतराल $[0,2]$ में फलन $f(x)=x^3-3x^2+2x$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होने हेतु $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: यदि $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$,जहाँ $a_0, a_1, \ldots, a_n$ वास्तविक संख्याएँ हैं,तो बहुपद $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ का अंतराल $(0,1)$ में एक शून्य है।
कथन $II$: यदि $f:[a, b] \rightarrow R$,$[a, b]$ पर सतत है और $f$,$(a, b)$ में अवकलनीय है,जहाँ $a>0$ और यदि $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ है,तो एक ऐसा $c \in(a, b)$ मौजूद है कि $c f^{\prime}(c)=f(c)$ हो।
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

यदि फलन $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ के लिए अंतराल $x \in [0, 4]$ पर माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) लागू होता है,तो प्रमेय के अनुसार $c$ के मान ज्ञात कीजिए।